CHAPITRE III

4IS. Afin de découvrir la formule qui donne le développement de la puissance m'^' d'un binôme x-^-a, m étant supposé entier et positif, cherchons d'abord à ordonner, suivant les puissances descendantes de x, le produit P des m binômes

A cet eifet, observons que si Ton multipliait x + a par 4K + 6, puis le produit par x-i-c, etc., et qu'on ne fît aucune réduction^ un terme quelconque de P serait égal au produit de m facteurs^ pris respectivement dans les m binômes donnés.

Conséquemment :

1* Le premier terme dé P est oc^;

2** Pour former un terme contenant x**"*, on doit prendre le premier terme x dans m — 1 des binômes; et, dans le binôme restant, prendre le second terme : le coefficient de (xT^ est donc la somme S^ des seconds termes des binômes;

3° Pour obtenir un terme contenant x"^^ on doit, dans m — 2 des binômes, prendre le premier terme x; et, dans les deux binômes restants, prendre le second terme : le coefficient de x"*"* égale donc la somme Sj des produits deux à deux des seconds termes des binômes ; etc.

4* En général, le coefficient de x""** est égal à la somme Sp des produits p àp des seconds termes;

K^ Enfin, le dernier terme de P est le produit f^ ... kl des seconds termes, produit que nous représenterons par S„. On a donc

4V. Dans la formule (1), supposons

le premier membre deviendra (x -h a)"*. En même temps : 1« S^ = a -4- 6 -h c H- ... H- A: -h / se réduit au produit de a par le nombre m des seconds termes :

2' Sj = a6 -f- ac h- ... 6c h- ... -4- kl se réduit au produit de à^ par le nombre des combinaisons deux à deux des lettres a, b, c^ ..., k^ l :