Application. — Soit

a' -h 1 ABC = 1 1

On a

Donc

comme ci-dessus (405).

€a« des ffacteurM ésaux*

419. Supposons que le dénominarcur F (x) ait la forme (x — ayF^(x), F|(x) étant le produit des facteurs simples ou multiples de F (x), autres que x — a.

Si Ton considère la fraction ^^^^^]..^^^), on pourra, d'après 08 qui précède, la décomposer comme il suit :

(x — o) F, (x) X — a Fi(x)

Ap étant une constante cl fi (x) un polynôme entier. En

effet, on aura d'abord (408), K^F^y ^^» ^'"" ^"^""^ côté,

est un polynôme entier, attendu que /"(x) — ApFi(-x) s'annule pour X = a (•»«) (*).

(•) Le numérateur f{x) peut être de dogré plus élevé que le déuominaleur (x— •a)F,{x) : ceUe circonilance n'influe en rien sur la possibilité de la décomposilion indiquée.

On volt, en outre, au moyen de Tégalité (4), que la fraction ^^^ est irréductible, ou que les polynômes /i (x), Fi(x) sont premiers entre eux.

326 ALGEBKE.

Cela étanl, divisons par (x — ay~^ les deux membres de Tégalité (3); nous trouvons

(x — aYh\(x) (x — a)" (x— aj^-'Etlx)

On voit donc que la fraction proposée est dècomposable m une fraction simple, de la forme ** >p, et en une nouvelle fraction rationnelle, dont le dénominateur ne renferme plu^^ que la puissance (p — 1 ) du facteur x — a.

On peut raisonner sur eelle-ci comme sur la fraction primitive, et Ion obtient, successivemenl :

AW -V. f,(x)

AW A,,, f,{x)

(x — ay-'F, (x) (x — ay* "*" (x — a)" 'F, (x)'

/i-iW A, /;(x)

Par suite,

F(x) X — a (x — a)* (x — a/ F,(xJ

Ainsi, /a présence du facteur (x — a)', da«« F (x), donne lieu à p fractions ayant pour numérateurs des cofistantes, et dont les dénominateurs sont x — a,(x — a)*, ... (x — a)'. Il est bien entendu que, si Fj^ (x) est divisible par (x — 6)', on obtiendra, pareillement, des fractions

Bj B, B,

a: — 6 (x — fc)' (J — 6)''

et ainsi de suite.

Occupons-nous de la reclieiTlic des numérateurs Aj,

4t8« Première méthode, — En multipliant les deux membres de Tégalilé (5) par F(jc), et posant, pour abréger,

^(x] = Aj(.r— «)"-« -H Aî(x— a)"-* -*-...-♦- A^,(x — a)-HA^, ((>)

nous trouvons

puis, en prenant les p — 1 premières dérivées :

r (x) = Y(x)Fi (x) + M'(x)F.(x) -h etc. (*), /" (x) = T (x) Fi' (x) -+- 2Y' (x) F;(x) -+- Y" (x) F, (x) -^ etc., r{x) = M (x) Fr(x) -»- 34 ' (x) F;'(x) -*- 3m " (x) F; (x) -t-H'"(x)F,(x)-hetc.,

Dans les p égalités ainsi formées, remplaçons x par n; ces égalités se réduisent à :

/•(«) = H HF. (a),

f"{a) = Y (a) ¥'; [a) -h 2 » ' (a) Fi (a) -f- h " (a) F. (a) ,

Mais, par la formule (6) :

^(a) = A^, Y'(a)=I.A,4, m "(a) = 2. I. A, „ M"'(a) = 5.2.i.Ap 3, ...;

donc, finalement :

/•(cr) = A,F.(a), \

/•'(a)==A,Fi{a)-4-I.A,.F.((i), [ (7)

f"{a) = A^Fi'ta) -4-2.1. A^,F; (a) -+- 2 . i . A, ,F, (e/) ,

(*) Il est inutile de développer les dérivées de (x — ayfp{x), parce quVIles s*3onulCDt, aussi bien que cetle fonction , poiir x = a.

La première équation donne A^, la deuxième, \^i; et ainsi de suite.

4t4. Remarque, — Le polynôme F| (x) ne contenant pas le facteur x — a, F, (a) est diiférent de zéro : les valeurs de A^, A^.,, Aj,,, ..., sont finies et déterminées. En outre, comme f(n) n'est pas nul, la valeur de A^est différente de zéro ; donc la fraction ,j^z^^ existe nécessairement.

415. Deuxième méthode. — En multipliant par (x— a/ les deux membres de l'égalité (5), prenant les dérivées successives et faisant x = a, on trouve des équations que Ion peut écrire sous la forme abrégée

et qui font connailrc, séparément y les numérateurs A,, Ap 1, A^s, ... Malheureusement, le calcul des dérivées successives de la fraciion i^ est, presque toujours, fort compliqué.

4tO. Troisième méthode. — Dans

F,(x) A^ -4- A, ., [x—a] + ... -f- A,(x — «)"-* -4- (x — ei)'^'

remplaçons x par a-f-z : le second membre se transforme en

Ap -+- A„.z -4- A„sz' -+- H A^z^-* -+- s'' ;^- ^- (8)

D'un autre côté, en développant les deux termes delà

fraction p^, par le Théorème de Taylor, nous pouvons la mettre sous la forme

Cela fait, divisons le numérateur de la nouvelle fraction par le dénominateur, en ordonnant le quotient par rapport aux puissances croissantes de z, et en limitant ce quotient au lerme en 2' * : nous aurons, au lieu de la fraction ér^i'

une expression

z^Fiz) Bo -4- B,z 4- B^* -f- ... -4- B. iz"-* -+- — — ^— > W

¥{z) étant un polynôme entier. Identifiant les développements (8) et (9), nous trouvons

A^ = uq, Ap i = IJi, ..., i\| = l'p^i \ ).

Ainsi, les numérateurs des fractions

Ap Ap| A|

(x — aY (x — «)''-* X — a

sont les coefficients successifs du quotient de f (a -f- z) par F| (a -h z), ordonné suivant les puissances croissantes de z. 419. Quatrième méthode. — Reprenons Tégalité (5), mise sous la forme

/•(x)=F,(x)iA,-+-A^,(x-a)-4-...H-A,(x-a)''-*[

(*) Les fonctions (8), (9) sont dpux développements de la fraction ^^; donc elles doivent être égales, quelle que soit la valeur attribuée à z. Si Ton fait 2=0, elles se réduisent à A^ et à Bq; car F, est différent de zéro; donc Ap = Rq. Retranchant membre à membre, supprimant le fadeur commun 2, et faisant 2=0, on trouve Ap-^ = Bj; etc. Absolument comme si les fonctions étaient entières (4«9).

530 ALGÈBHE.

1° Remplaçant x par n, nous iroîivons

comme précédemment.

2" Si Ton transpose A,F, (x), le second membre est divisible par x— a; le premier membre jouit donc de la même propriété; et, en conséquence,

Q,(x) représentant le quotient de f(x)— \F^(x) p^vx—a. 3" De même, si Ion fait

X — a on a

' Fi(«) et ainsi de suite.

418. Remarque. — Ces diverses méthodes doivent donner les mômes valeurs pour les inconnues A^, A^.,, ..., A|; car la décomposition de la fraction ^-|^ n'est possible que d'une seule manière (*).

419. Application. — Décomposer '\'^'^\^^ <?» frac ttons simples.

Nous nous occuperons seulement des fractions correspondant au facteur (x — iy du dénominateur. Première méthode.

x^^x—i A| A, As

-elc;

a:(x-^1)(x— I)» x—\ (X— I)* {x—if

(*) Cette proposition se démontre, Hans le cas général, à très-peu près comme dans le cas particulier oU F (a?) n'a que des facteurs simples. Nous laissons au lecteur le soin de développer la démonstration.

FRACTIONS UATIONNELLES. 551

a:*-+- X — 1 = [A j (x — 1 )' -♦- Aj f ar — 1 ) -»- Aj] (x*h-x)-i- etc.; 2x-*.i=[A,(x— l)'-hA,(x— 1)-»-A5](2x-4-1) -4- [2A, (x— 1) -+- A,] (x* -t- x) -f- elo.; 2=2|A,(x— 1)'-f-A,(x— I)-4-A;J -+-2[2A,(x— 1)h-A,]{2x-4-1) -♦- 2A,(x*-t-x)-*-elc.

Pour x== 1, ces trois égalités se rédiiisenl à

i = 2A3, 3 = 5A3 -+- 2Aj, 2 = 2A5 H- 6Aî -f- 4A, ; donc

Deuxième méthode.

x'-4-X \ A4 Aj A;

etc.;

A| (x — 1)* -+- A4(x — I) -4- A3 -H etc.;

(x* -f- x)* ou

= 2A4 (x — 1 ) -+- Aj -f- etc.;

(x* -4- X)* ou

Faisant x=1, nous trouvons

= 2Ai-4-otc.,

= 2A,-+- etc.

Troisième méthode. — En rcmplaçaiu x par 1 H- z dans ' "t*""*» OD a d*abord 1"^"*"*"V. Par la division, on transforme celte fraction en

2 4 8 2 -+- 3j3 -t- jc'

Donc

1 5 7 A.Œs— > Ai = — » A| = •

Quatrième méthode.

x*-HX— l = (x'-4-x)[A5^A,(X" l)-i-A4(x — 1)*]+-;

Caa lies ffacleam ImaslBalrea.

4tO. Dans ce qui précède, rien ne fail supposer que les racines de réquation F(x)=0 soient routes réelles. Si, parmi ces racines, il s'en trouve d'imaginaires, les facteurs correspondants auront la forme {x — a — (3 i^ — 1 1 , et donneront lieu à des fractions

X a — pi/— 1 (x — a — pi/— l)*

dont les numérateurs seront imaginaires

En admeltant que les polynômes f(x)f F (x) aient tous leurs eoeffieients réels, on peut, ainsi qu'il suit, faire disparaître les imaginaires, ou plutôt se dispenser de les introduire dans le calcul.

491. Facteurs imaginaires simples. — Considérons d'abord le cas où I équation F (x) = 0 admet une racine imaginaire simple , a h- (3 V — 1 . Puisque cette équation a ses coefficients réels, elle admet la racine conjuguée a — ^V — 1 (•8t). Nous aurons donc

F(x) a.«pl/Zrr x-a + pl/^ï F«W

en désignant par F,(x) le quotient de F(a;) par (œ— «)*-i-(3*. De plus (409),

F'(a -f- pi/— J) F'(a — pi/— 0

Enfin, si Ton réduit A la forme fx -h vV — 1 (»Oft), la valeur de B sera fx — v V — 1 . Nous pouvons donc écrire, au lieu des fractions simples considérées tout à Theure,

yV/— 1 a — vl/— i

X— a — pi/— i X — a -4- pl^— 1 fx (x — a) H- S'P Mx -♦- N

M et N étant des constantes réelles.

Par conséquent, la somme des fractions simples, correspondant aux facteurs conjugues

X — a — pl/^, X — a-+-pl/— i,

5ôi ALGÈBRE.

est une fraction qui a pour numérateur un binôme du premier degré, à coefficients réels, et pour dénominateur le trinôme (x — a)* -+- ^'.

A99» Facteurs imaginaires multiples. — De

on conclut, absolument comme au n^ Ait :

[(X - a)' -+. p'J'F, (x) [(X - «)' ^ fy Mp |X -♦- Np, M,x -♦- N, f> (x)

■*" [(X - «)' -h p*]-* "^ '•• ■*" (x-«)'^p* "*■ FJÔÔ

Mp, Np, -M^i, IVp i, ... étant des coefficients réels.

4tS. Calcul des coefficients. — On l'effectuera par la première méthode (Ai»); e'est-à-dirc qu'après avoir multiplié, par [(x— a)* -h p2]''F|(x), les deux membres de l'égalité (1 1 ), on prendra les/> — 1 premières dérivées (*), en négligeant le terme

et, dans les p équations ainsi formées, on fera

cette substitution donne 2/) équations , d'où Ton conclut, successivement, M^, N,, puis M^,, N^i, puis M^,,N^sr" Ordinairement, ce calcul est très-prolixe. étû* Application. — Soit

F(x) ( j« -^ 1 )»"(x« -«- X H- 1)»* C) Il est bien entendu que si p= 1, l'égalité (10) suffit.

FUACTIOXS IIATIOMNELLES. 335

La fraction doit se décomposer en

Pour délerminer les numérateurs des irois premières fractions simples , nous avons d'abord

^ == y (jr) (x* -f- X -f- 1 )' -♦- etc., on posant

Y(x) = (M,x H-N^lx^-t- 1)* -+- (MîX-4-N,)(x*-4- 1)-f-M5X-*-N3;

puis y en prenant les deux premières dérivées :

0 = 2y(x)(x* -^x -4- i)(2x -^ 1) h- h'(x' -hx -h 1)* h- etc., 0 = 2y(x) [2(x* 4- X -^ 1) -4- (2x -4- !)'] -f- 4y'(x) (x* -+- X -h i ) (2x -i- 1 ) -4- M "(x) (x* -+- X -I- 1 )* -+- etc.

D*ailleurs,

m' (x) = 4(M.x -+. N,)(x^ -t- 1)x -H Mj(x« -♦- 1)* -f- 2(M4X ^ Nj) X H- iM,(x« H- 1) -+■ M5,

-+- CM, (x* -H 1) X -+- 2 (Mjx -+- N,) -f- 4MjX.

Si actuellement nous remplaçons x par l^ — 1, nous déduirons, des six dernières relations, les équations suivantes :

+ 4 [2(M,V/=T ^- nO\/^=T+ M,]\/:^(2l/^ -H 0 + 8(M,\/=1 h- n,) - 2 (M,»/=T-i- N,) - 4M»\/^=^,

336 ALGÈBKG.

d'où 1 011 tire enfin :

M5=0, N5== — 1, M,= — 2, N,=— I, M=— 4, N,=2. On trouve , par un calcul semblable :

Par conséquent y

\ 2x— 1 2xH-i I

4t5. iittfre méthode. — Soit, pour abréger,

(x — a)' -H p' = x' -4- ax -f- 6.

1" L'égalité (il) peut être écrite ainsi :

/•(x) - F, (x) (M,x -4- N,) ^ x' -I- ax -♦- 6 F, (x) [Mp.iX -4- N,i -♦- (Mp,x H- N^,)(x' -*- ox -h 6) -♦- ••• -^{SUx H- N.) (x« -4- «x -*- 6)»»-*] -h (x« -♦- «X -♦- 6)'-*/; (x).

Le second membre est un polynôme entier Q|. Si donc M,, Np ont des valeurs convenables, le premier membre doit se réduire è Q^. Effectuant la division, on trouve

1 r = Vi -+- -i . •

x' -f- ax -4- 6 x' -+- ax -+- 6

Par conséquent, les coefficients M^, N, sont déterminés par les équations du premier degré :

2* L'égalité (12) devient

a;* -H ox -♦- 6

F,(x)[M,^ -f- Np,-*- - -I- (M,x -i- N,)(x« -4- ax -♦- 6)^]

-*- (x* -f- dx -H by^^flx).

Répétant le même raisonnement et le même calcul , on voit que si Ton trouve

Qi — F, (x) (M,|X -♦- N^,) A^ -♦- Bt

x' H- «X -H 6 X* -+- ax -H 6

les coefficients Mp„ N^.i sont donnés par les équations

A, = 0, B,^=0; etc.

4)9<l. Application. — Reprenons Tégalité

i = (x* -+- X -H i)«[M5X ^ Ns -f- (M^ -H N0(«' -^ I) ^(M,x-»-N,)(x« +!)«]-♦-...,

considérée ci-dessus.

1' La fraction

4— «'(MjX-i-N,)

MjX -4-

Pour qu'elle se réduise au polynôme

Q^ = — (a ^ 1)« (M5X -+- Ns) — (M,x -^ N,), on doit prendre M, == 0, Ns = — 1 .

11 résulte, de ces valeurs,

2** La fraction

= i (X -*- OMM»x -^ N,)

= i — (xH- l)«{M,x-^N,) — (M^H-N.)

x«-f-4 Elle se réduit à

Qi = i ~ [(X + i)«H- i] (M,x H- N,),

si Ton suppose

Par suite,

3" La fraeiion

2x' -*- ox' >4- 6x -^ 5 — (x^ -4- X H- 1)* (M,x -^ NQ

^ ^ 4x — 2 H- MiX -+- Ni

Conséqiiemmcnt,

(*) Les calculs précédenls, et tous ceux qu'exige la décoinposiiion d'une fraction rationnelle quelconque, sont susceptibles de simplifications nombreuses, dans le détail desquels nous ne pouvons entrer; le lecteur les apercevra facilement.

2X-+-5 -(x-4- i)*(MjXH-N4)

êMV. Remarque. — Au lieu d'opérer conformément aux principes exposés ci-dessus , il est souvent plus commode de recourir à la méthode des coefficients indéterminés (AM), surtout quand Féquation F(x)=0 a toutes ses racines imaginaires. Soit, par exemple , la fraction ji~^ . Après avoir décomposé le dénominateur en

(x'-Ha:l/2-4- l)(x* — x\/2-^^l), on pose

i Mx-4-N PX-+-Q

^-*-^ x'-4-x»/!2-^ i X* — xl/2-^1

Chassant les dénominateurs, et identifiant les deux membres, on a

ou, plus simplement,

1/2 Ces équations donnent

Par conséquent,

x*-+-i 2l/2\x'-Hx\/2-+- i X» — xI/2h-1

I. Théorème. — En représentant par a|, a,, ..., a^, b^, ^2 9 — > b„,, des quantités quelconques, on a, identiqîiement,

y." (gp — fct) {Op — tP »•» (tfy — fc.-0 Q ...

A (a> — fli) («p — ot) - («p — On)

II. Théorêmb. — 5otenl a, b, c, ... k, 1 de^ gtianitfés quelconques, inégales; et soit

rw f'{b) fil)

/e^ exposants a, (3, j^, ... X étonf déterminés par Véquaiion

III. Théorème. — 5of7 f(x)=(x — a)(x— b)...(x — 1) : le reste de la division de F (x), par f (x), est

AWS

(*) Il esl évident que le déDoroinaleur ne doil pas contenir le facteur

(**) Par exemple , la fonction fractionnaire

(ô^^^o^) "*" (6 — a)(6-c)'*'(c — a)(c — 6) est identiquement égale à la fonction entière

a» -♦- i» -♦- c' -♦- (6 4- c) a» -4- (c H- a) 6» -+- (a -4- 6) c» -♦- abc.