CHAPITRE

Délliiltloiis.

fl. On appelle infiniment petit une quantité variable, très-petite, qui a pour limite zéro (*).

W* Si plusieurs infiniment petits, a, P, y, ... dépendent les uns des autres, on donne le nom d'infiniment petit principal à celui que Ton regarde comme arbitraire.

S. Si les rapports ^, -, ... ont des limites finies, différentes de zéro, les quantités (3, y, ... sont considérées comme étant du premier ordre.

{') Od devrait dire : quantité iNoépiNiMENT petite. Celte dénomination, soavent attribuée à Cauchy, éiait connue dès 1702, comme le prouve le titre suivant : Essai dune méthode pour trouver les touchantes des courbes mécaniques, sans supposer aucune grandeur indéfiniment petite, par M. de Tschirnhausen.

4. En général, ^ ayant pour limite une quantité Gniet, différente de zéro, on dit que (3 est de l'ordre n,

&• Plus généralement, si a, (3, y^ ... sont du premier ordre, le produit des n facteurs a, (3, y, ... est de rordren,

•• Applications. — 1"* Un rectangle, dont les côtés a» ^ sont du premier ordre, est du deuxième ordre.

2^ Soit X un arc inOniment petit principal : alors sin x et tg X sont du premier ordre, parce que ^^ et ^ ont pour limite Tunilé; mais 1 — cos x est du deuxième ordre; car

2sin«- ,. 1 — - cos X ,. 2 \

lim =Jira — s=-.

3" On sait que, x étant un petit arc, on a

0 < X — sm X < - x%

X — sin X i

^* «.5 ^^ fi

De là résulte que le rapport ^"^""^ tend vers une limiie qui ne surpasse pas | : on peut même démontrer quelle est égale à |. Donc x — sin x est infiniment petit du troisième ordre.

SabstICvtlon dec InflnlmeBl petite.

7. Théorème I. — La limite du rapport entre deux infiniment petits de même ordre, a, (3, est égale à la limite du rapport entre deux infiniment petits a^, |3| , qui diffèrent des premiers, de quantités infiniment petites, «a, Pv d'un ordre supérieur à celui de a, (3.

En effet , de on tire

oc a| -^ OC] <Xi 0E|

puis, à cause de

1101-= 0, liiu^=0:

«I pi

oe ttj

lim - = Jim- •

9. Corollaire. — <x, P étant, par exemple, du premier ordre ,

lim - = Imi -: — = lira ; etc.

p sinS !(«-+■?)

•• Théorème II. — La limite de la somme de quantités positives, infiniment petites, dont le nombre augmente indéfiniment, est égale à la limite de la somme d'autres quantités infiniment petites, dont les rapports avec les premières ont respectivement pour limite l'unité.

Soient

«Il «îj Q'Sï —1 «n

les premiers infiniment petits; et

Pu pi» Ps» •••> Pn

les seconds, tels que les rapports

P. P» Pn

aient tous pour limite Tunité. D*après un théorème connu, la fraction

Si -+- y^ '¥' ••• -♦- ot^

est comprise entre la plus grande et la plus petite des fraclions précédentes; donc elle a pour limite Tunité.

tO. Théorème III. — Dans la recherche d'une limite d£ rapport ou d'une limite de somme, on peut substituer l'un à l'autre deux infiniment petits, a, (3, quand leur rapport a pour limite l'unité.

Ce théorème est évident par les deux premiers, dont il est le résumé.

tt. Théorème IV. — La différence entre un arc infiniment petit XCM et sa corde kHf ^ est un infiniment petit d'un ordre supérieur.

Soient a, c les longueurs de ces deux lignes. Si la différence a — c n'avait pas la forme as, s étant infiniment petit, il en résulterait

a — c > ak, (i)

k étant un nombre constant, supérieur h zéro. Appliquant cette inégalité aux diverses parties d'un arc fini ACC'C'B, on aurait donc

a — c>ak, a' — c'>a'k, a"— c" > o"A, ...;

d'où