Interprétation géométrique. — AB étant la courbe

.T qui a pour équation y=f(x), et MT étant la tangente, on a

PP'=AX = rfx, QM'=AI/,

QR = y'dx = dy.

De plus,

QM' — QR = Ay — y'dx = (y' + c) dx — y'dx = frfx.

Conséquemment , la différence entre les of^donnéeida points correspondants de la courbe et de la tangente est, au moins, du deuxième ordre.

94. Remarque. — Au lieu de regarder j| comme un simple rapport, on admet, quelquefois, que cette notation est un symbole, destiné à représenter lim jj; et alors, pour ne pas confondre ces deux acceptions de ^, on figure ainsi la seconde : \j^\. Mais les définitions que nous avons adoptées (91, 99) rendent inutile celte diversité de notations.

95. TiiÉORÊiiE. — En général, et quelle que soit la variable indépendante, la dérivée y' est égale au rapport des différentielles de y et de \.

En effet, si j/ et x sont fonctions d*une variable indépendante u, de manière que

on a toujours

puis

sy At/ ^x

àX lU ' lu '

lini — L. = iini -± : lim — ,

SX A M su

Mais, u étant la variable indépendante :

(lij == F' {il) du, dx = ©' (f/) du ; donc enfin

te. Fonctions invei^ses. — Si lequalion y = f(x) est résolue par rapport à x, on a x = vp (j/); puis, par le théorème précédent,

Ainsi pf^:,)^'^)^i:

le produit des dérivées de deux fonctions inverses est égal à I.

DÉIUVÉES ET DIFFÉRENTIELLES. 355

•7. Dérivées et différentielles partielles. — Soit z=F(x, y); xeiy étant des fonctions d'une variable indépendante t. On a trouvé (Alc, t»0)

AZ = (Fi -4- a) AX -H (Fy -+- p) Ay, (5)

a, j3 étant des infiniment petits, de même que Af, Axy ày et Aj3. En étendant la définition de la différentielle (9i), nous aurons donc

dz = Fjrfx -*- F//y,

ou plutôt

, dz . dz '

dz =-T- dx '\'-r- du. (4)

dx dy ^ ^ '

Dans cette équation fondamentale, les deux parties du second membre sont des différentielles partielles; le premier membre est la différentielle totale de z. En outre, la notation dz a trois significations différentes : on vient d'expliquer celle qui se rapporte au premier membre. Quant aux deux autres , le numérateur de ^ représente la partie priticipale de Faccroissement que prendrait z^ si y était constant; etc. Un peu d'attention suffit pour empêcher toute confusion entre ces diverses quantités, bien qu'elles soient représentées de la même manière.

tS. Remarque. — En reprenant la démonstration du théorème auquel nous venons de renvoyer (Alg., t)VO), on reconnaît que l'équation (3) subsiste quand x et j/, au lieu d'être des fonctions de r, sont variables indépendantes; il en est donc de même pour l'équation (4). Dans le premier cas, celle-ci équivaut à

dz dz dx dz du

di dx dt dy dt ' ^* ^

et cette nouvelle équation exprime, comme on devait s'y attendre, le théorème dont il s'agit.

M. Interprétation et démonstration géométriques, —

Supposons que la surface dont Féquation est z = f(xy y)

^ soit coupée par quatre plans, dont deux soient parallèles à zx, et les deux autres, parallèles à zy. Les tangentes HS, MT, aux sections MA, M B,déterminent le plan tangent enH(*);etceluici coupe, suivant un parallélogramme MSmT, ^ le parai lélipipède projeté en PQP'R. Soient

PQ = àx = dxy PR = ^y = dy:

je dis que wP' — MP,

accroissement de rordonnée mP du plan tangent, ou accroissement de l'ordonnée MP de la tangente Mw à la secHon MM', est égal ^^dx-h^dy.

En effet : ^^ ^* ^

^ dx

(y étant supposé constant);

dz , KT = z-^-r-dy dy

(x étant supposé constant).

Mais, d'après une propriété connue,

QS -+- RT = MP -^ iwP' = « -^ mP';

donc

dz , dz ^ 2z -H ~-dx -^ -:r-dy=z dx dy

ihP',

dz ^ dz

m?' — z = "- ax H- -T- dy.

dx dy

(*) Traite élcmiataire de Géométrie descriptive, 2<>« partie, p. ! I

DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. Stf7