CHAPITRE III
FoaetlaBS eipliellea.
K Si Ton applique la notation différentielle aux règles du Calcul des dérivées (Alg., Cbap. VII), on trouve, immédiatement, les théorèmes exprimés par les formules suivantes :
!• d (u + t; — w) = du -^ dv — dw;
2* d (m?) == udv -+- vdu;
5» d(viVf.,.u„) = UiUi...u^dVi-^UtUi.,.u„dut-h •••
, ,/u\ vdu — udv „ ,, V —I.
4» d - = r- — > î^* à (»") = n«i— yi/;
c/u du
6» d(log.ti) = M— ; ?• rf(ltt) = — ;
8* c( (a') = a'Iarfar; 9* d (e*) = e'rfx;
etc.
Si. Si j^ = F(u, t?), on a («i)
rfw = -r^ rftt -+- -r dt?.
^ du di?
St. Remarque. — Soient y = F (w, x) , ii = ^ (x). Il en résulte, par la formule précédente,
dy= du -*- -r- dx.
du ax
AF(p(*K*)
Ici, ^ n'est pas la même chose que y'= lim ^^ Cette dernière dérivée est la dérivée totale; Tautre est une dérivée partielle; ou, comme on le dit quelquefois (Alg., tfttt), la dérivée par rapport à la lettre x. Pour éviter toute erreur, on peut écrire, au lieu de la formule précédente.
La même convention donnerait
dx ^ dudx \dxr^'
• Exemple. j/ = u sin x, ii = 1x.
On tire, de là :
puis
rfy du \ /rfy\
-7^ = smx, -- = -, l-^l =t/cosflr;
du dx x \dxJ
dy sin X
y ' = -^ = H I X . cos X.
dx x
{*) Depuis an certain nombre (l*années, divers Géomètres désignent, de la manière suivante, les dérivées partielles de ^ a /(jp, y) :
Si Ton adopte cette notation, la dernière formule devient
dy __ ^^^ydM Dy dx du dx tix
En effet, si Ton remplace d*abord u par I jt, ce qui donne y = I x . sin rr 9 on trouve
y = — sin X -*- Ix . cos x.
84. Autre remarque. — Si y^ fonction de x, est donnée par une équation de la forme
on doit, pour éviter toute équivoque, écrire ainsi le résultat de la différenciation des deux membres :
dF (IF
Cette nouvelle équation, résolue par rapport à ^ = 2/' donne
dx ^ ^ dF'
FonellOBa Implicite*.
S&. Dérivées totales. — Si Ton a une seule équation, F (x, y) = 0, il en résulte
dF . f/F ,
-7- ax -4- *;- ay = 0;
dx dtf ''
(*) La relation
. à\t dy
dysi—'dx-h r-dy dx dy
serait inintelligible ou absurde.
puis d?
dy dx
résultat déjà démontré dans la Théorie des dérivées (Alg., t&4).
sa. Pour plus de généralité, considérons le cas où Tod donnerait n — 1 équations entre n variables; et, pour fixer les idées, supposons n=4; de manière que ces équations soient
F(x,y,ti,t;) = 0(i), f (x,y,u,t?) = 0 (2), ^(flp,y,u,!;)=0 (3).
En les différenciant complètement, on a
d? dF d¥ d?
-r- dx -4- -— dy -H -T- rftf -♦- T" ^^ = ^> dx dy du dv
dv do df d9
-^ dx -^-rdy -h -r- du -♦- -r- dr = 0 ,
dx dy du dv
—• dx -♦- -— dy -H -7- dti -H -r- dv = 0.
dx dy du dv
De ces équations, homogènes et du premier degré par rapport aux différentielles, on peut tirer
dx dy du dv
A, B, C, D étant de certains déterminants. Par suite, -^ = -. Le second membre est une fonction de x, y, u, t?. Si Ton peut résoudre les équations (1), (9), (3) par rapport à y, ti, v, on exprimera ^ en fonction explicite de x. S9. Exemple:
a'-4-xy=tn? (4), x' -h y* = m* -f- î;* (5), x-f-y = ii — v (6).
Différenciant, on trouve
*''y "^ yrf^ = wrf» -♦- vdu , xdx -h ydy = udu -i- vdv ,
dx •¥- dy = du — dv; puis
(x — y) {dy — dx) = {u — v) {dv — du) ,
OU
(x — y) {dy — rfx) = — (X -f- y) {dx -4- dy).
Par suite, ^=3 — |. Pour vérifier celte valeur, il suffit d'observer que les équations (4), (5), (6) donnent
(i«— t?)*— (u*-i-v»)-H2tit?=(xH-y)»— (x'-4-y*)-*-2(a*-4-xy)=0,
ou
2xy -H o* = 0.
9S. Dérivées partielles, — Supposons que Ton demande les dérivées joar^teUe^ de deux fonctions u, v, relativement à deux variables indépendantes x, y. Le nombre des équations doit alors se réduire à detuc. Soient
*(a:, y,ii,t?) = 0 (8)
ces équations. Si on les différencie en supposant y œn^ stanie, on trouve
^rfx-f-4îdti^^dv = 0, ~^-(ix^$rfii-*-$rft? = 0;(9) dx au dv dx dx dv
et, par conséquent,
dx du dv
df d^ d^ d\ft df dfp d^ d^ df d^ df d^ dudv dvdu dvdu dxdv dxdu dudx
36S CALCUL DIFFÉIIEKTIEL.
puis
du dv dx
d'f dfff dxdv
df dii> dv dx du
df d^ du dx
dx df dip
df dp
dx df d^i
df r/f
du dv
dvdu
du dv
dvdu
Une simple permutation donnerait ensuite ~el^- SU. Remarques. — I. Au lieu d'opérer comme nous venons de le faire, on peut différencier complètement les équations (7), (8) et conclure, des équations différentielles ainsi formées, les valeurs de duy dv, en fonctions de dx, dy (8S) : les coefficients de ces dernières quantités seront, respectivement, les valeurs de ^» ^» ^» ~. En effet,
du du dv dv
du = --dx -*- r-rtv, dv = -7- r/x -♦- —- av. dx dy dx dy
II. Les valeurs de du et de dv^ qui entrent dans les équations (9), diffèrent y complètement, de celles qui satisfont aux équations
df df df n '^^ 7 ^^ t ^'^ j A
--rfii -+- -—rttt -4- -7-0^ = 0, -T-dy-^ --du -f---ar =0, dy du dv dy du dv
lesquelles supposent x constante; ou plutôt, dans ces deux systèmes d'équations, les mêmes notations ont des signiGcations différentes. Pour éviter toute erreur, on pourrait écrire ainsi les relations (9)
df df du df dv dp d^ du d^ dv
dx du dx dv dx * dx du dx dx dx
{*) Cette remarque est une confirmalion de celles qui ont été faites plusieurs fois.
DÉRIVÉES ET DlFFÉHEFiTIELLES DU PREMIER ORDRE. 563
