CHAPITRE IV

40. On a VU , dans la Théorie des dérivées (Alg., lA*)» qu'étant donnée une fonction 2/ , de la variable indépendante X, on peut chercher les dérivées successives de cette fonction, dérivées que Ton représente par y', y", ... j/"'. Pour appliquer à cette question la notation différentielle, supposons que, dans les diverses fonctions y, y' y y", ... on attribue k x le même accroissement h=dx : c'est là ce que Ton entend quand on dit que la différentielle de la variable indépendante est constante (*), Cette différentielle a néanmoins pour h'mite zéro. Il résulte, de cette hypothèse (M) :

dy^y'dx, dy'=y"dx, dy"=y-'dx, ... d^— )=y-)rfx. {«)

Différenciant les deux membres de la première égalité, on obtient, eu égard à la deuxième, et parce que dx est constante :

d{dy) = (dy')dx = y-{dxy;

ou, pour plus de simplicité dans la notation,

d^y = y"dx\ (i)

De même, en différenciant les deux membres de cette formule, on trouve

(*) Ici, comme dans la plupart des cas, le mot conslante signifie : indépendante de X.

AA&is

d{d^y) = d[ddy) = dY.

donc

ify = y'"dx^; (3)

et ainsi de suite. En général,

d"y = y^''^dx'*. (n)

41. Remarque, — Les différentielles successives , dy, fpy^ cPy^ ..., sont des infiniment petits du premier ordre, du deuxième ordre, du troisième ordre, etc., à cause des facteurs dx, dx*, dx', ...

Par exemple, t; étant le volume d'un cube dont laréte est X, la différentielle première de v est la partie principale de Av == (x -4- dxy — x^ ; c est-à-dire que

dv = 3x'dx :

le second membre représente la somme des volumes de trois parallélipipèdes rectangles, à bases carrées, ayant chacun dx pour hauteur. En second lieu, la différentielle première d'un de ces parallélipipèdes est

[(x -+ dxf — X* — dx*J dx = 2xdx'; donc

d.dv = d^v = Cxdx*. Enfin,

d^v = Cf/x*.

Il est visible que d^v représenle la somme de six parailépipèdes à bases carrées : chacun d'eux est un infiniment petit du deuxième ordre ; etc.