Les relations (2), (3), ... (w) conduisent à celles-ci

Dans chacune de ces fractions, les deux termes sont des infiniment petits de même ordre; ce qu'on exprime en disant qu'ils sont homogènes. Cette homogénéité est nécessaire; car si les deux termes étaient d'ordres différents, la fraction serait constamment nulle ou constamment infinie : elle ne serait donc pas une fonction de x.

F«MetloB0 4e deux ▼artaUes lm4épem4«Ble«i

4S. Soit u=f(x^ y), X Qiy étant deux variables indépendantes. Nous avons trouvé (99) la formule

, rft* «f tt , du =---aa;-*- v«yi dx dy

dans laquelle ^ et ^ représentent les dérivées premières de ti. Chacune de ces quantités est une fonction de x et de y, dont on peut prendre la dérivée par rapport à x, ou par rapport à y.

1* D'après les conventions établies plus haut.

\dxl d^u \dv}

dyl d^u

dx rfx* dy dy*

2" La dérivée de ^, relative à y, c'est-à-dire \ ', se représente ordinairement ainsi : ^^.

3* De même,

dl-] \dyl d^u

dx dxdy

l. Théorème. — Les dérivées successives -rr"* Ssont égales entre elles.

Afin d*établir cette proposition importante , remarquons d^abord que

, du du

d^u dx ,. dx

= --— = liiii

Mais

donc

dydx dy ày

du ^df(x,y) dx dx

dx dx

car l'accroissement de la dérivée d'utie fonction est égal à la dérivée de V accroissement de celte fonction; ou, ce qui est équivalent : la différence des dérivées de deux fonctions est égale à la dérivée de la différence entre ces fonctions (AlG., 196).

Maintenant,

Ay dx dx

car Ay est indépendante de x et de dx. Nous avons donc

dît r/-(x,y-+- Ay)— /(x, y)-

r/(x,y-f- ^y)—l(x,yn

,. dx ,. L Ay J

lim =:^Iim — —

Ay dx

On va voir que la limite de la dérivée d'une fonction est égale à la dérivée de la limite vers laquelle tend cette fonction. Conséquemment,

dx L Ay J \dyj

lim = -£ = —r->

Ay dx dx

OU enCn

(Pu éPu

dydx dxdy

êA* Pour démontrer le dernier lemme, considérons une

suite de courbes telles que AMB, représentées par y = f(x9 a), a étant un paramètre variable. Soit amb la position-limite de AMB, répondant à a==a. Menons les tangentes MT, mt : celle-ci est la position-limite de la première. Les

coefficients angulaires de ces droites sont -^^^^ "^r^î

donc

df{x, a) dlWm f(x, a)]

dx dx

4II. Supposons, maintenant, qu'il s'agisse des dérivées n**^ d'une fonction u, prises, successivement, par rapport à diverses variables indépendantes x, ,v, z, s, t, ... On a ce théorème général :

Le résultat de plusieurs dérivations successives est indépendant de l'ordre dans lequel on opère.

La démonstration se décompose en plusieurs parties (*) :

l^ On peut intervertir l'ordre des deux dernières dérivations.

Par exemple,

d'il d'il

= (Ij

dxdydzdsdt dydxdzdsdt

(*) Celte marche esl semblable à celle que Ton suit, en Arithmétiqne, pour établir la proposition relative à Tinterversion des facteurs d'un produit.

So'^d5i3ï=?- Comme (44)

dxdy dydx

les deux membres de Tégalité (1) sont identiques.

2^ On peut intervertir l'ordre de deux dérivations consécutives quelconques.

Je dis que

d'ti d'il

dxdydzdsdt dxdzdydsdt En effet, d'après le premier cas :

dydzdsdt dzdydsdt ' donc

\dydzdsdtl \dzdydsdtl

dx dx

3* On pct«^ intervertir y d'une manière quelconque, l'ordre des dérivations.

Celte proposition générale résulte, évidemment, de celle que nous venons de démontrer (to). Ainsi, u étant fonction de X et de y, on a

d^u d^u (Pu

dydx^ dxdydx dx^dy De même , u étant fonction de Xyy,z:

d*w (Pli d'à d'il

dz^dy^dx dydz^dydx dy^dz^dx dydzdxdzdy^ etc.

BifféreBlIclles mueteamîrrm. — C«mlln«attoB.