De

dx dy

on conclut, comme dans le cas d'une seule variable indépendante :

Mais

donc

OU à cause du théorème ci-dessus :

(Pu = — rfx» -+- 2 -— - rfjf/f/ -+- -T-, dy'. (:i)

f/x* t/xrt</ «y

Telle est Texpression de la différentielle deuxième de t*. Si Ton passe à la différentielle troisième^ on trouve

H- -T— T-rdx -*- -T-idy I dt/% \dxdy* dy* .^y :^ '

ou

d«M . ^ d»tt , , . - d*M . , d'w . , ,..

La loi des résultats est visible, et Ton a, généralement,

a"M = — ax" H dx*'~*au

c/x» i r/x-*rfy ^ .

49. Cette formule, que Ton vérifie aisément, peut être écrite sous la forme symbolique :

(du , du ^ Y

dy

pourvu que, dans le développement de la puissance, on remplace du^ par (f ti.

On trouve de même, u étant fonction de trois variables indépendantes :

/du , du , du . Y d^u = l-T-ax -♦-— -rfv -*- -;-dz\ • \dx dy dz J