Supposons que, u étant fonction de x et de y, ces
quantités soient fonctions d'une variable indépendante t.
Nous aurons encore
du du
dx dy -^ ^ '
mais, dx et dy n'étant plus des accroissements arbitraires et constants, les formules (2), (3), ... seront remplacées par d'autres, plus complexes que celles-ci. En effet, la nouvelle valeur de d'u doit se composer de l'ancienne, augmentée d'une partie qui provient de la variation de dx et de dy. On a ainsi, au lieu de la formule (2) :
hPu , . (Pu
(Pu d^u \
\rfjc' dxdy (hf . ,.^.
dy ^1
De même 9
(<Pu (Pu dfu éfu
(d^u éPu (Pu éPu ]
((Pu (Pu (Pu (Pu \
(du ^ du „\ ^[Tx^^'-^TyH^
OU
(d^u (Pu (Pu (Pu \ \
c/x' dx^dy ^ dxdy* ^ d^ ^ I \
[d^u (Pu (Pu 1 1
/du „ du ^ \.
-H -7-cPx -f--r-cPt/).
\dx dy ^1
On voit que les résultats se compliquent rapidement.
60. Remarque. — Si Ton divisait par dfi les deux membres de l'équation (2^*'), on aurait l'expression de la seconde dérivée de u, relativement à la variable indépendante t. De même pour (3^*^), si Ton divisait par dt^.
