z—rV "-•!— i-"-- -7— r "-~r;y -- T~ir*' y

aj dxay dxau \dxdy dy* dydu I

dy \dxdu dydu du^ } du

etc.

Ces équations dérivées, du premier degré par rapport à y',w', y", w", ... feront connaître y' = ^, y"=^, absolument comme si les équations (S) avaient été résolues.

Dérivée* parileiles ■■eee«ilvefl«

M. Si z = f(x,y) est Téquation d'une surface, rapportée à des axes rectangulaires, on représente ordinairement, par Pf q^r^ Sf ty les dérivées partielles

dz dz d^z d^z d^z dx dy dx* dxdy dy^

Au moyen de eette notation , les formules (1) et (2), du | n"* 49, sont remplacées par î

dz = pdx -*- qdtfj d^z = rdx* -¥- ^dxdy -h tdy^.

ft6. Lorsque z est une fonction implicite de x, y, donnée par une équation telle que

on peut y de la manière suivante, trouver les valeurs de ces dérivées partielles.

En premier lieu, si Ton suppose y cotistant, on a

d¥ rfF

et, par conséquent ,

puis, par un changement de lettres :

</F dy

Prenons maintenant la dérivée de Téquation (7), en y regardant p et z comme fonctions de la seule variable indépendante a^t et ^* ^, comme fonctions de x et de s.

Nous aurons (jk»)

d^¥ d'F d*F , dF

dP^'d^.^-^d?^-^!^''-' ^''^

De même, si Ton suppose x constant, on conclut, de réqualion (7),

rf*F (PF cPF (P¥ rfF

Enfin, une simple permutation donne, au lieu de Téquation (10) :

d'Y ^ (PF rf«F . c/F

Si Ton remplace p et ç par leurs valeurs (8), (9), il ne restera plus qu'à tirer, des équations (10), (H), (12), les valeurs de r, «, t.

MUm Application.

P (a:, y, z) = ayz -4- bzx -h cxy — m' = 0. Il résulte, de cette équation :

rfF rfF dF

— =6z^ey, =cx + cu, =ay4.6x,

«PF ^ rf«F iPF

(JPF (PF ^ cPF

«'y*^^ rf^rfx rfxcfy

puis :

bz -\- cy ex -+- az

ay -4- 6x ay H- bx

26p -♦- (ay -4- 6x) r = 0, ^aq -♦- (ay -♦- 6x) ( = 0 ,

c H- ap H- 6qr H- (ay -4- 6x) « = 0;

et enfin :

bz-^cy abz az -♦- ex

(ay -f- 6x)* (ay -+- 6x)' (ay -4- 6x)*

ftV. Àuire méthode. — Si Ton prend les différentielles suceessives, complètes^ de Téqualion (6), on a, comme au n* 49:

rfF ^ rfF , rfF ,

-— ax -I- -r- ay -h'-t- «z =0,

ax ay dz

(PF d»F rPF dF

rfx* rfy^ -^ rfz« dz

d»F d'F <PF

-•-2-7— "-dwdz-f- 2-— --dzdx -4- '2——-dxdy =0; aiyaz azax rtxrfi/

dF f/F dF

-dx ^-dy -».-(pdx.^,d^)=0,

dx«.--dy'-*.-(pdx^9dy)«

-— — du -f- -— —- dx I (prfx -+- ody) + 2 , , dxdy dydz ^ dzdx J '^ ' '^^ dxdy ^

-♦- — - (rdx* -f- Isdxdy -¥■ (dy*) = 0. dz

Mais, Xy y, étant des variables indépendantes, les accrois êements, dx, dy sont arbitraires; donc les dernières équations se partagent en

dF dF __ dF dF __

dx dz ^ dy dz

d«F d'F , d'F dF d7'^d7^-^'d^P-*-d-z''==^'

d*F d«F d*F d»F dF

dz* '^^ dydz ' dzdx ' dxdy dz

d^F (PF , d'F dF

d^'-*-d?'"^7î;dï^■*-d^'=^'

et celles-ci ne différent pas des relations obtenues par le premier procédé (*).

z—rV "*-•!— i-"-*- -7— r "*-~r;y -*- T~ir*' y

z—rV "-•!— i-"-- -7— r "-~r;y -- T~ir*' y