IL

dy df xjdx dy

du

dz =^ ~- dx -\"— dy -—dx h dyl.

dx dy dv xjdx dy J

Cette valeur de dz doit être identique avecpcîx-hgdj/; donc, dx et dy étant indépendants Tun de l'autre :

dx dx d'Y dy dy dp

du du

(*) U est visible que les deux méthodes s*étendeut à des dérivées d*ordre quelconque.

(**) La valeur trouvée pour p justifie la remarque ci-dessus.

&•• Si Ton différencie les équations (H), (iS), on a :

rfx« dy'^ du"

■4- ^[-r-T-dxdy -+- T-^dydu -h -p-^ atiox J -4- -7-cfH, \axay ayat< atiax / au

c/x« rfy» ^ du*

/ d*© , , rf*? , , «^P , . \ <*? »

-H 2 , , axay -♦■ , , dydu -+• , . dudx] -+■ -r-oni. \axay ayau auax / otf

Éliminant du et dHi , on mettra la valeur de (Pz sous la

forme

Adx' -+- 2Bdxdy -4- Cdy';

de sorte que (54)

••• Application,

z s= x' -I- y' -^ îi', 11 = X -•- y.

On tire, de ces équations :

dz = 2xr/x -I- 2ydy -4- Suc/u, (Pz = 2dx* -+- ±ly* -¥- 2du* -+- Si/d'il , du = dx -\- </y, d*ti = 0 ; puis

xy

z = arc Ig -^ — (*).

\/\^x*-hy*

{*) La valeur de la différentielle première a été iDdîqaée ci-dessos, p. 364.

II. Calculer directement les dérivées partielles ,p,q,ry s y / de la fonction précédente.