CHAPITRE V
PrélintoAlre*.
•1. La formule fondamentale , dy = y*dx^ trouvée en supposant x variable indépendante, subsiste si Ton prend pour variable indépendante une quantité quelconque ti, dont X est fonction (tA). Si, par exemple, y==x* et x = l/tî, d'où y = ti^ les deux valeurs de dy : ioifidx et 2ttrfw, sont égales entre elles; et la dérivée y' = 4x', est égale aussi à -^ = 4ti V^.
Cette concordance ne subsiste plus quand il s*agit des différentielles d'ordre supérieur.
Par exemple, cPy==12xMx^ diffère complètement de G(*y=2dw*. En effet, la seconde valeur est 2(2xdx)*=8x*(/x*.
•t. Il est aisé de se rendre compte de cette diversité de résultats. Lorsque x est variable indépendante, dx=^const\ donc cPx=0. Au contraire, u étant variable indépendante, (/*«== 0. Si donc, en partant de la formule rf?y=4x'(/x, on veut parvenir à la seconde valeur de cPy, on doit différencier dy en supposant dx variable et d^u = 0. On trouve ainsi
» » - . * , .- dw* , — f/w* , .
^y=l!2xVji*-+-ijiVj= 12w. ^u\ V . =2rftt';
résultat exact.
I. On voit, par cette simple application, qu'il est essentiel de savoir transformer vne formule^ trouvée en supposant X variable indépendante, de manière à la rendre applicable au cas d'une variable indépendante quelconque, u :
386 CALCUL DIFFÉAENTIEL.
c'est là ce qu'on appelle effectuer un changement de variable indépendante.
€•• d'vae «evle variable*
•4. Formules générales. — Soient y\ y", y"\ ... les dérivées successives de y, x étant variable indépendante. On a toujours
^ dx ^ '
Si Ton différencie les deux membres, et que Ton divise ensuite par dxy on trouve
„ dx(Py — dyd^x .^.
A son tour, cette relation (2) donne
rfxVy — dxdytPx — ùdxtPyt^x -4- ody (rf'x)'
dx'
etc.
•&. Application.
cette formule, comme on le verra plus loin, représente le rayon de courbure d'une ligne plane, rapportée à des coordonnées rectangulaires. Remplaçant y' et y" par leurs valeurs, on trouve
(rfx« -f- dy^y
dxdhj — dydfx '
et cette nouvelle formule subsiste, quelle que soit la variable indépendante. Si, par exemple, on veut passer aux coor-
données polaires ti, a>, et prendre &> pour variable indépendante, on fera
X = ti cos 0, ^ = ti sin » ;
et, par conséquent :
dx = cos <x>du — u sin ada^
dy = sin uclti + u cos aadb»^
d?x = cos »cPm — Î2 sin oduda — u cos a»rf«',
cPy = sin cocTu + 2 cos u>duda — u sin «sdtf';
puis
dx* ■+- dy* = du' -*- mV»', clxd'y — (fycPx = ^du*d» — ueTtido) -f- tt'rf«'.
Telle est la valeur du rayon de courbure d'une ligne rapportée à des coordonnées polaires,
••• Remarque. — On aurait pu conclure, de la relation (4), la formule particulière (6), sans passer par la formule générale (5). En effet, de
, dy sin tadu -4- u cos uAa
dx cos odu — u sin udu on lire
(cos adu — « sin »rf»)' y"dx
= (cos odu — ti sin ado) d (sin <w/u + u cos adu)
— (sin ttdu + u cos urf») «{ (cos odu — 1« sin adu) ;
etc.
•9. Autre application. — Transformons la formule (5),
de manière à prendre, pour variable indépendante, la
quantité s définie par Téiquation
ds* = dx* -♦- dy\
La différenciation donne
0 = dxiPx H- dytPy.
Par conséquent, on peut éliminer une quelconque des différentielles ctx, dPx, dy^ d^y; et écrire, sous plusieurs formes, la valeur de p. On trouve un résultat plus élégant en prenant
(dxd^y — dyd^xf et en ajoutant au dénominateur la quantité nulle
(dxd^x -4- dyd^yf.
Il résulte, en effet, de cette combinaison,
ou
2^py /cTyV
•9. Revenons aux formules générales (1), (2), (3), ... et supposons que y soit variable indépendante. Alors rf'y = 0, d3y = 0, ...; donc
•^ dx -^ djT- -^ dx*
etc.; ou bien, en appelant x\ a", x'", ... les dérivées successives de X, par rapport h y :
\ x" . ox"' — x'x"'
î/=-7' y= — ^' y = — VI
K Remarque. — Supposons que x, y représentent des lignes. Alors y'^lim f| et x'=lim ^ sont des rapparis, c'est-à-dire des grandeurs de l'ordre 0. Par suite, y" et x"
sont de Tordre — 1; y"' et x" de Tordre — 2, etc. H en résulte que les dernières équations sont homogènes ; ce qui doit être.
