II. Le développement contient m + 1 termes

III. Le terme qui en a p avant luiy que Ton appelle terme général, a pour expression

lY. Les coefficients des termes également éloignés des extrêmes sont égaux.

Le coefficient de T^^^ est G^, p. Mais, le nombre des termes étant m + 1 , /e terme qui en a p après lui en a m — pavant lui; son coefficient a donc pour valeur C^ «p, ou C,, , (S4, II).

V. Pour les applications, il est commode de rendre le premier terme du binôme égal à Tnnité. Or

(x ^ a)*" == X- f 1 -+- -| == x"(i -4- z)"*, pourvu que

D'ailleurs, comme une puissance quelconque de Tunité est égale à Tunité,

Celte nouvelle formule subsiste quel que soit m , pourvu

{*} Il n'y a pas lieu d'ajouter, comme on le fait quelquefois, que les exposants de x vont en diminuant, et ceux de a, en augmentant; car ou s était proposé de développer {x -h a)"* suivant les puissances dêcroissaDtes de x.

5i ALGÈBRE.

que la variable z soit comprise entre H- 1 et — 1 . Cette proposition, dont on verra plus tard la démonstration , doii être entendue ainsi :

Le second membre de l'équation (4), cofnposé d'un nombre limité de ternies quand m est entier positif, devient une série dans tous les autres cas. Si z est compris entre -h l et — i , celte série est convergente et a pour somme (i -+- zy.

é9. Formation des termes. — La formule (3) donne

m{m — i)...(m — p) ^, , ^ m — pa ^ ^

Par eonséquent, pour passer d'un terme au terme suivant, on multiplie le coefficient par l'exposant de x; on le divise par l'exposant de a augmenté d'une unité; on aug^ mente d'une unité l'exposant de a et l'on diminue d'une imité l'exposant de x.

Appliquons cette règle au développement de (x + a)^. Nous aurons, successivement,

x\ -ax», 9.-aV = 36aV, 36 . ^ oV = 84aV,