o*x' = 126aV, etc
et enfin
(x + aY = x* H- 9ax* -¥- 36aV -^ 84a V ^ i26o*x» -f- 426aV -f- 84a V h- 36aV -4- 9o'x -♦- a\
50. Rang du terme qui a le plus grand coefficient. — Représentons par C^^., le coefficient du terme de rang /> -h 1 ; nous aurons, à cause de la formule (S),
Cp+, = C^|. (6)
Pour de petites valeurs de p, la fraclion ^^^^ surpasse Funitë; donc C,^., > C^+i : les coefficients vont d'abord en augmentant. Cette augmentation cesse dès que le facteur ^^ devient égal ou inférieur à Tunité. Par conséquent, le rang du plus grand coefficient est égal à la plus petite valetir dep -h l qui vérifie la relation -^-^^ 1 .
Elle donne
Donc, 1* «I m est impair, le rang du plus grand coeffi-
dent est
2^ si m est pair, le rang du plus grand coefficient est
in
Dans le premier cas, le développement a un nombre pair de termes ; et comme /> -t- 1 = — ^ suppose
il y a deux termes du milieu, dont les coefficients, plus grands que tous les autres, sont égaux entre etuc. Dans le second cas, le terme du milieu, de rang
a le plus grand coefficient.
61. Développement de(x — a)*". — Si, dans la formule (1), on change a en — a, on obtient
(X -o)'"=x-~— ax—'^-'H-l- 1)'C..pa'x— '-«-...+ (-a)'". (7)
&•• Remarques. — I. Dans les formules (i) et (5), faisons X = a = 1 ; nous aurons
Par conséquent,
1® La somme des coefficients du développement de (x-hay égale S" ;
2® ta somme des coefficients de rang pair est égale à la somme des coefficient de rang impair (*).
II. Si Ion représente par P la somme des nombres de combinaisons de m lettres prises en nombre pair, et par I la somme des nombres de combinaisons de ces m lettres prises en nombre impair, on aura, en se rappelant que C^, 0 = ^ ^'^^^ P^^ **** i^ombre de combinaisons (46),
PH-l = 2'"~i, 1 — P = 1; d'où
