Application. — Soit donnée Téquation
1?'^ dy*^^' ou
les nouvelles variables indépendantes étant les coordonnées polaires ti, &).
A cause de
x=u cos «, y = u sin w ,
on a d*abord , d après les formules ci-dessus :
dz dz
p cos o -4- o sin a = -7-9 — pu sin w H- ott cos » == -j- ;
du oai
CALCUL DIFFÊRENTICL.
d*où
dz
îdz
dz
\dz
p=---COS« — 8111 «, <?=-— -SinwH ---COSft».
du uda du uda
Différenciant, on trouve
rdx
du
d^z . * <*« , \ aiia» tf a» /
Van M c/ft» M (f io' M OM(/« /
du
(ta r-ua] Sin »
duda u du I
Idz , I rfz , \d'z , \ d^z \
-H —a-ï r-p««/H j—aûiH — p-r/tilcos».
\du vr du u dJ^ u duda J
Remplaçant dx, dy par leurs valeurs , et égalant les coefficients de du et de du, on tire, de ces équations :
d^z \ dz \ d^z
rcos«-4- «sintf= -— cos»h — r--sin« ~— -sin «,
du u au u dud»
d^z dz . i iPz , i dz
- — — cos« — -sin« —-sina —
duda du ttdo udta
MrsinB-4-i/«cos«== - — ;-cos« — -sin« -—sin» ~ cose,
cPz . \ dz \ d^z
«ces «H- ^sina=
-r-r Sin « -— • ces b) -I -— COS «,
du u du u dada
d^z , dz \ d*z i dz .
us sm «-+-«< rosw = - — —sin»-»- -— cos« h p-iCOs« -r-sin ».
duna au udvr ud&
Multipliant la première relation prucosco, la deuxième par sino), et retranchant, on a
d*z , «Pz .
tir = u -r— cos « — 2 -p-;- sm « cos » du dud»
id'z
2dz u
dz
H — sm" « H — — sm « cos a -*- -j-
u au u du du
sin* «.
De même,
lit = Il —— sin* « -+- 2-; — p sin « cos « h cos' «
du dmUt u dùT
âd^: dz
- — - sin M cos » -»- -p u du du
Sin û) cos »-»--:- COs' to.
La transformée de
r -+- ( = 0 est donc
d*z \ d^z dz
flj^H--— -4-— = 0.
du* 1/ a»' aa
96. Remarques. — I. Les quatre équations, entre r, «, t, n*équivalent qu'à trois équations distinctes.
IL On simplifie le calcul précédent si Ton part des relations
M = V^x' -+- M*, a == arc ig - > az = — eiu -h -— r/w,
X du db»
d*z dh d^z
d^z = -— • rfti* -^ 2 , ■ f/t/c/w -4- --- c/u)*. ail' atirfw du*
ËBJC9fcie^9»
L Etant données les équations
o (1 — «') ci« r
r = > — = —, a; = rcosw, y = rsnia),
i -I- e cos M di r*
dans lesquelles a, e, c sont des constantes, et r, &>, x, /y des fonctions de la variable indépendante i\ exprimer, en fonction de r et des constantes, les quantités
dx rfe^ f/»x dfy (dxy idyy [d'xY (d'yV
jr n' rfF' rfi^' id^y "*" [tii ' IdFJ ■*- \dê] '
394 CALCtX DIFFÉRENTIEL.
Résultats :
dy
e{a — are
dx
cVa*e* — {a
-rr
dt
areVX-
dt'
d'y dt*
c' l/a'«'at*e i/J
\dl) "*■ U// a(r^««)lr'"â/
