SÉRIES DE TAYLOR ET DE HAG-LAURIN

Théorème de Taytor.

VU* Première démonstration. — Supposons , pour fixer les idées, que f(z)y f (z), f (z) et f"{z) restent finies et continues lorsque la variable z est comprise entre x et x+A.

Supposons, en outre, que A et B soient la plus petite ei la plus grande des valeurs que prenne alors r*'{z). On aura , en général ,

Le premier membre est la dérivée, relative à jz, de la

fonction

qui s'annule pour z = x. D'ailleurs cette fonction est croissante, puisque sa dérivée est positive; donc, pour z>x,

De rinégalité (2) on tire, par le même raisonnement,

(•) Taylor (Rrook), né à Edoionton, en 1685; mort «i 1731. — Mac- Laarin (Colin), né à Rilmoddan, en 1698; mort en 1746.