SÉRIES DE TAYLOR ET DE HAC-LAURIR

puis, de celle-ci :

DonCy pour z = x -4- A :

/•(x + A)>/-(x)-»-^/'(x)-.-^rW + A^.

La même méthode, appliquée à la limite B, donne

Remarquons maintenant que A et B^ étant le minimum et le maximum de f" (z) (dans rinlervalle considéré), toute quantité C, intermédiaire entre A et B, peut être représentée par /''"(x+ 6A), 0 étant un nombre inconnu, compris entre 0 et 1 (Alg., t9t). Donc

/(x-H/o=/-(x)-f-^r{^)-^7^rw-*-rT^r(xH-«A)î

et, en général,

/•(X -4- A) = /(X) + ^ /•' (X) H- il r (*) -^ - )

-4- f" (x) -+- • /^+Vx -H 8A).\

11. Seconde démonstration. — Diaprés ce que Ton a vu dans le cas où f(x) est un polynôme entier (Alg., tftH), on est conduit à poser

f(x-^h)-f{x)-jr(^)—^n^) — rl3;^"(^)=*»'

R étant le reste.

Remplaçant x par a — A, on a d'abord

«=A«)-/"(«-*)-Jr(«-A)-|^r(«-*)— ■■

puis, en prenant la dérivée relativement à A :

R'=f'(*)=r(«-*)-^7r(a-*)-^----*-7^ri«-A)

c'est-à-dire

D'un autre côté , Tégalité (3) donne

Conséquemment, il s*agil de déterminer la fonction f (A), s'il est possible, par la connaissance de sa dérivée et par la condition (5) (*). A cet effet, nous démontrerons d'abord la proposition suivante :

78. Leiime (**). — Si les fonctions cp(x), ?'(x), i((f\ i{/'(x) restent finies et continues depuis x=^b jusqu'à Ti=h, et que la fonction ^' (x) ne s'annule pas dans Vintervalk, on a

^(6) — ^(a) ^'[a-+-f(6— o)] £ étant un nombre inconnu, compris entre 0 eM .

(fi)

{*) Otte méthode, analogue à celle qui nous a ser?i pour les développements de I (1 db a?) et de arc (go?) a été Indiquée par M. Scblômilcfa {Journal de Liouville, t. XXHI).

(**) Dû à M. Schlômilch.