SÉRIES D£ TAYLOR ET DE MAG-LAURIN

Soit la fonction

d'après les hypothèses précédentes, elle est continue, aussi bien que sa dérivée, depuis x = a jusqu'à x=b. Or,

F(a)= f(b)Ha)-Hf>)f«

F(6) == - f{a) nb) -+- *(a) ?(6) = F(a).

La fonction reprenant la même valeur pour x==a et pour x=6, F'(x) s'annule, au moins une fois, entre x = a et 1 = 6 (*); ou, ce qui est équivalent, Yéquation F'(x)=0 a au moins une racine comprise entre a et b. Et comme

F(x) = [f(b) - y(fl)] f (x) - [^(6) - Ha)] f'i^h

F'(x)=0 équivaut à

le lemme est donc démontré (**).

?•• Dans la' formule (6), supposons

a = 0, t = /t, ^(x) = x'^*, f = i e: il vient

<'i, à cause des relations (3) et (4) :

(*) Voir,parexemp)eJadéinonslraiionduThéorèmedeRoUe(ALG., tvs}. (**) D'après TéquatioD fondamentale

f(x + /») = /"(JT) + A/' (a: -h e/i), . 00 a

fW~f (a)^f^[fl-4-i(6--o)]

mais rien ne prouve, a priori, que c^ == f.

d'où, en remettant x au lieu de a — h :

R = ^ f- /••*« (x -♦- Bh\

On a donc, finalement :

/■(x + A) = /-(x) + J /- (X) + il /^' (x)

80« Remarques, — I. Chacune des formules (A), (B) constitue le Théorème de Taylor, Elles supposent que la valeur attribuée à a; ne ren(| infinie aucune des quantités

IL Si y n augmentant indéfiniment, le reste R tend vers zéro, la Série de Taylor est convergente, et a pour limilt f(x -h h).

III. On peut donc, sous certaines conditions, développer f(x-hh) en série convergente, ordonnée suivant les puissances croissantes de h.

IV. Dans les formules (A), (B), 9 est une fraction proprement dite, incmmue (*), De plus, p désigne un nombre entier, arbitraire, mais compris entre 0 et n.

8t. Diverses formes du reste. — Si, dans rexpression générale (7), on fait p = n, p = 0, on trouve ces deux autres formes du reste, fréquemment employées (**) :

R = , /"+* (x ■+- eh) , (8)

(*) 11 est presque superflu de faire observer que , dans ces deux formules, la fraclion 6 n*a pas la même valeur. (**) La première a été indiquée ci-dessus (9S).