SÉRIES DE TAYLOR ET DE MAG-LAURIN

9f • Il résulte, de cette seconde valeur de R :

/■(x + A) = Ax) + J/-(x)H-^r(x)

fn (x) H- 1 L f***(x + »A).

•érie 4e ■««•Laarln.

8S. Si 9 dans les formules (A), (B), (G), on suppose 0^=09 et que Ion reniplace ensuite la lettre A par la lettre x, on trouve :

/•(x) - m + jr(o) + ^:â^"^^^ "^ '"

Chacune de ces nouvelles formules donne le développement de /"(x), ordonné suivant les puissances croissantes de X. La série, qui ne diffère pas, au fond, de celle de Taylor, est appelée Série de Mac-Laurin.

94. Remarques. — I. Si quelqu'une des quantités f(x\ /'(x), /*'(x), ... devient infinie pour x = 0, f{x) n'est pas développable suivant les puissances de x. Par exemple, on ne saurait développer, de cette manière, Ix, parce que

40i CALCUL DlFFÉRE?iTIEL.

Mois si, dans la formule (A'), on fait

X = r/ , A = JT — a ,

la quaiuilé a étant choisie convenablement, on trouve

j: — fi (x — aY \

nx,=na) -^ —^ fia) -»- L__J. /■"(«) ^ ...

R = -^^ /-^' la -♦- 6 (x — «)1

Ainsi, Ion pourra développer f(^x) suivant les puissances (le X — a.

II. Celle formule (D) est précisément, sauf la notation, la formule (A). Comme nous venons de le dire, les Théorèmes de Taylor et de Mac-Laurin n'en font donc véritablement qu'un.

Autres remarquca «Hr la iiérie de nae-Laurln.

Hh. 1. Tout développement de /"(x), suivant les puissances entières et positives de x, est identique avec celui qui résulte du Théorème de Mac-Laurin. En effet, si Ton a

A -^ Bx -4- Cx« -4- Dx' -^ ... = A'-f- B'x -4- C'x* -\- D'x» -f- -,

on trouve successivement, en supposant x = 0 :

Ainsi deux développements d'une même fonction, ordonnés suivant les puissances entières et positives de la variable, sont identiques (*).

(*) Celte propriété est rextcnsion de celle qui est démontrée dans VAigèbre, p. 3i2.