X**** XX X

1.2...(n-+-1) i 2 n-+-l il tend vers zéro dès que n + 1 surpasse x (99). Donc

lim R = 0.

Ainsi y pour toute valeur réelle de x ,

r«rai«le «a blaénr.

••• Au lieu de conelurey du théorème de Mac-Laurin, le développement de (1 + x)", nous allons ehercher la limite de la série du binôme (Alg., 19). Soit donc

m m(jîf-— 1) iii(fw — i)(w — 2) , ...

la variable étant comprise entre — 1 et +1, eosdusivemenf (*).

Prenant les dérivées des deux membres, on a

Si Ion observe que la nouvelle série se déduit, de la première, par le changement de m en m — 1, on est conduit à multiplier y' par I -4- x. On obtient ainsi

iw— I

ou, par des identités connues,

ou encore

y'(l-+-x) = ȕy,

— = tn

(*) Dans certains cas, la formule du binôme subsiste pour x = ^i- {Nouvelle Correspondance mathématique, 1. 1, p. 121.)

(**) Cette conclusion serait inadmissible si la série dérivée était divergente; ce qui n'a pas lieu dans le cas actuel.