CHAPITRE IX

EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES IMAGINAIRES. ExpoBeiiAlelles Imaylnalrea*

• Reprenons les formules

sin xi= 1 , (1)

cosx=i-^^^-..., (2)

établies dans le Chapitre VIL

Afin de voir nettement quelle est la relation qui existe entre ces séries, remplaçons , dans la troisième , x par X V — 1 : elle devient

iH.fv/3ï i!-J^v/:^

ou

= C08 X -4- 1/— i sin X.

On peut donc prendre, comme définition de e^*^, Féqu»don

et Ton a la relation cherchée, découverte par Euler :

ef^^^ := ces X -I- V—i sin x ; (4)

puis , en changeant x en — x :

e"**^ = ces X — 1/ — 1 sin x. (5)

t#4. Par suite,

ces X = j sin X =s : — j

tgx =

Ces valeurs sont fréquemment employées dans eertaîne recherches (*).

n Nous les aYOos déjà citées (p. 178).

I05. Les formules (1), (2), si Ton y remplace x par xV — 1, deviennent

»s(xl/=ï)-4-Ki!l*--^*...: (8)

celles-ci définissent an {xV — l) et cos (xV/ — l). Pour les simplifier^ prenons les relations :

Il en résulte :

et par conséquent, au lieu de (7), (8) :

sin (x l/^^) = - (c- — e-) l/^^,

COS (xl/^^) = â (^ "*" O-

tlNl. itemargti^^. — I. Ces nouvelles relations ne diffèrcnt, des deux premières formules (6), que par le ebange" ment de x en x V — 1. Les unes et les autres sont autant de preuves de Futilité des imaginaires.

IL D'après les formules (4), (5), la fonction e**^~* a des propriétés complètement différentes de celles qui appartiennent à e* : l** elle est périodique; 2® quand x augmente indéfiniment, elle ne tend vers aucune limite déterminée.

•pératioBfl sur leii exponentielle* lni«slB<^ireB*

lOY. Produits et quotients. — Quand les exposants sont réels, on a

Les mêmes règles subsistent si x et y sont remplacés par X 1/ — 1 et y \/ — 1. En effet, d'après la relation (4) :

^^rr^ ^jf%/=ï ^^ ^ç^g ^ ^ l/— i sin x) (cos y •¥■ l/— 1 sin y),

^yr=i . ^>^ ^ cosafH-l/ITTsinx^

cos y H- 1/ — 1 sin y

ou (Alg., 9t9, 918) :

e'*'^ . e**^^ = cos (x -♦- y) -4- 1/ — \ sin (x -*- y).

: e»*^^ = cos (x — y) -+- \/ — 4 sin (x — y).

Les seconds membres de ces égalités représentent , respectivement ,

donc enfin

g.v^^^yV^^H-y)^=7^ (10)

198. Puissances. — II résulte immédiatement , de la démonstration précédente, que

du moins si l'exposant m est entier positif.

tos. Remarque. — L'équation (12) ne diffère pas de la Formule de Moivre (Alg., Mt9).

tt9. Exposants complexes. — Le symbole e*^*^^ est défini par la série

x-^yV/HT (x-^yl/~r)' (x+yl/^T)"

laquelle est toujours convergente (8S). Pour yérifier que ce symbole représente le produit de e' par e^*^^, cherchons la somme s de la série.

Dans le développement de (x h- y l^ — 1 )", y' a pour coefficient

Si donc la série est mise sous la forme (*)

Ao -H Aiy -♦- Ajt/' -H ... -4- Apy'' h ,

on a

Ap = -r-r^ C*.

p;^ 1.2.3...(n — p) ou (3)