p Par suite y
OU
« = e'(cosy -t-l/—1 siny) = c*.c>'*^.
Conséquemment,
et
^^*^=c(cosy -4-l/irTsiny). (U)
C) Nous admettons Ie,Tbéorème de Dirichlet (Alg., st).
4tt CALCUL DIFFÉRENTIEL.
ttl. Autre démonstration. — Dans Tégalité
posons
ap =r p cos f , y = p sin f.
Au moyen du Théorème de Moivre, la série devient i + f. (cos o -♦- 1/^ sin y) -♦- -^ (cos â? -^ V/^ sin 2.) '
— - — fcos 09 -H y/ — I sin 5?) -\ — 1.2.3^ ^
= i H- ^cos f -+- --— - cos 2y -♦- , - ^cos 3? -4- — 1 1.2 1.2.0
+ \/Zrî fL sin y -4- ^sin 2f -+- j-|-gs>n 5? -♦- -J
L'application de la Formule de Mac-Laurin donne, par un calcul facile :
cf""? cos (p sin f) = i -H 7 cos ç»-+- 7-7- cos 2f-+- r^-;rC0s3?+-N
eP~*?sin(psin f)= -j siny -♦- — sin2f -1- ;jp^s»" 5?+-
Ainsi régalité (16) se transforme en
^ecf +v^./9tinf ^ e/""? [cos (p sin f) -v V/— 1 sîu (p sio f)j.
Mais (108)
cos (p sin f) + V/=Tsin (p sin ç,) = c»^P-?; donc
OU bien
119. Remarques. — I. Les deux dernières égalités généralisent les formules (10) et (4).
II. Si Ton propose de mettre le premier membre de réquation (14) sous la forme normale a -+-6V/ — 1, on aura
0 = 6*609 1/, 6 = 6"siny. (17)
fis. Inversement, on peut remplacer l'imaginaire
par une expression telle que e"*^ . A cet effet, observons que les équations (17) donnent :
c* = -f- Ko* -4- 6*,
cos y = -z=:i ' sm y
Soit (p lare, compris entre 0 et ^tt, déterminé par les équations
cosf=3 > sm^ = ; (18)
alors
it étant un entier quelconque.
D'ailleurs
donc enfin
Ainsi, Véqtuitian
aH.6l/^^=e*HfV^ (20)
es^ vérifiée par une infinité de valeurs de y.
114. Dans celle même équalion (20), x h- j/ \/^i est, par définition, le logarithme népérien de a + ôV^^^. Aulremenl dil
l(aH-6l/^) = il{a*-+-6«)-4-(2it7rH-5))\/^, (i\)
Tare f ^ moindre que Stt, étant toujours déterminé par fes deax formules (18).
116. Considérons quelques cas particuliers de la formule (21); cl, pour éviter toute ambiguïté, remplaçons, dans le premier membre, la caractéristique / par la lettre l : i (a -I- bV — 1 ) représente la valeur la plus générale de x^yV — 1.
1» 6=0. L*équation devient
> (a) =- 1 [a*) -*- (SAir -+- f) i/"^.
De plus, (p=0 ou (p=7r, selon que a est ^ 0. Donc, dans le premier cas,
> (a) = 5 1 (a«) -H 2 Att V—ï ; et, dans le second, ) (22)
a (a) =-1 (a«) -♦- (2* ^- 1) tt V^^.
Ainsi, fotife quantité réelle a une infinité de logarithmes. 2** Si, avec 6=0, on suppose a = H-N, N étant un nombre, on a ç=0; puis
" >(N) = lN + 2fcrl/=T": (23)
EXPONENTIELLES ET LOGÀKtTHMES IMAGINAIRES. 425
tout nombre a un seul logarithme réel, et une infinité de logarithmes imaginaires.
3° 6=0, a= — N. A cause de cos9 = — 1, on trouve
jL(-.N) = lNH-(2A-4-1)7rV/rT. (24)
Ainsi 9 les quantités négatives n'ont pas de logarithmes réels (Alg.9 su).
4" Soit N==l : les relations (23), (24) deviennent
X (i) = 2it7rl/=nr, 31 (— 1) = (2fc H- i) TC l/^.
S"* Cette dernière formule est comprise dans la suivante :
>(6i/z:î)=ii(6«)^(* + i)7ri/zrï. (25)
6^ En particulier,
i(l/:rT) = (A:-*-i)«V/=T. (26)
Aj^l^llealloiis des iliéorle* j^réeédentefl.
tin. Série de Leibniz. — Dans le cas où ac= ^ , Téquation d*£uler (lOS) devient
c'est-à-dire
cette expression de ^, sous forme imaginaire, est contenue dans la formule (S6).
Pour en tirer un résultat réel, Wronski fait attention que
donc
2 \/:rj i—y—i
Mais, pour toute valeur de z dont le module est suffisamment petit :
i -^ Z rz z^ JT* n
i— ir U 3 5 J*
donc, d'après la définition des exponentielles et des logarithmes imaginaires 9
car la série est convergente. Substituant dans réquation(28), on trouve
ce qui est la Série de Leibniz (Alg., !••). 1 19. Problême. — Résoudre l'équalion
(a -h 6l/in)«+^^ = X -^ y »/^^, (29)
X ef y étant des inconnties réelles.
Afin de définir le premier membre, on peut s'appuyer sur les propriétés des logarithmes imaginaires, et écrire
(an- pl/3T)l(a -*- H/=l) = l(x -Hyl/=1). (50)
Si Ton conserve les notations précédentes (114), on a
l(a H- 61/117)=: Jl(a« -*- 6«) + (Sfcir + rfl/^.
De même,
en supposant
cos 0 = 7- = —1
sin e =
Vx^ -*- y p
Au moyen de ces valeurs, 1 équation (30) se décompose en
lal(a' + 6«)--p(2fc7r-Hy)=Ip, a (2*îr H- ç,) -i- - pi (a« -h 6') = 2A:'7r -4- 0.
On a doi;c, finalement :
0 = a (SAtt ^- ç>) -h -pi (a* -*- 6') — âA'V,
x = pcosO, y = psmd.
Ainsi, Inéquation (29) admer une infinité de solutions réelles.
118. Eocplication d'un paradoxe. — Si, dans les relations (29) et (31), on prend
0 = 1, 6 = 0, a = 0, p=i, on trouve
lp = — SAtt, e = — âA-V,
et, par conséquent,
ce résultat s'accorde avec la formule (23).
Maintenant, si Ton fait attention que
1 = cos 2«ir -♦- 1/ — 1 sin 2nir = e*"*'*'^, on arrive à cette nouvelle relation :
Ainsi : 1" en élevant, à la puissance marquée parV—ij rexponentielle e*"^~*, on obtient, non la quantité unique e~''^, mais une infinité de valeurs réelles, formant la termes d'une progression par qux)tient;
2** La règle exprimée par la formule (e'')"=e'" ne subsiste plus quand l'exposant m est imaginaire (*).
