CHAPITRE X

INDÉTERMINATIONS APPARENTES.

▼aieura J.

119. Fractions rationnelles. — Une fraction , y=%f peut prendre la forme § pour une valeur particulière a de X, sans cependant être indéternainée. Par exemple,

devient § pour x=l. Mais comme, avant de faire cette

{*) Faute d*aToîr égard à ce cas d'exoeptioo, on poomit coodore, des égalités exactes :

les égalités absurdes :

INDÉTERMINATIONS APPARENTES. '429

hypothèse, on aurait pu diviser les deux termes parx — 1, et écrire j^==|~?, il s'ensuit que la iraie valeur cherchée

cslf.

D'après cela, si f(x) et 9 (x) sont deux polynômes entiers, on les divise, l'un et l'autre, par x — a, et l'on met Icxprcssion générale de y sous la forme tiïl. Faisant ensuite a:=a, on a, pour la iraïe valeur, ^-~.

490. jRemargrue. — Si la fraction ^4^ devient encore S pour x=ay on divise les deux termes par x — a; et amsi de suite.

191. En résumé, si la plus haute puissance de x — a, qui divise f(x) et (p(x), est (x — a)", et que /p(x),.9p(x) soient les quotients correspondants, la vraie valeur de y sera ^^ : eette vraie valeur est nulle, infinie ou différente de 0 et de Vinfiniy suivant que ^(x) est encore divisible par x — a, ou que 9, est encore divisible par ce binôme, ou enfin que ces deux polynômes (comme nous l'avons supposé) ne contiennent plus, simultanément, le facteur x — a.

199. Généralisation. • — Supposons que /"(x) et9(x) soient deux fonctions quelconques, s'annulant pourx=a. A cause de f(a)=0, 9(a)=0, on a identiquement

ou, en supposant x = a-4- A :

^""y(a't-fe)— y(a) h

CALCCL DIFFÉRENTIEL.

Si h diminue iDdéfiniment, le numérateur^ d après h définition des dérivées , tend vers f (a). Dé même,

lim

donc

limf/ = ^— TT

Ainsi, pour trouver la vraie valeur ^ y., d'une firaciion y =t|îj, qui se présente sous la forme f quand ^==^Sym prend te roppar( -p-j, cfe* dérivées des deux termes, et fw

198. Si la fraction ^ devient encore \ pour x^a» h vraie valeur est^?;—; et ainsi de suite.

t)i4« Autre démonstration. — A cause de /'(a) = 0, f (a)==0, on a, par le Théorème de Taylor :

f{a -h A) = kf{a -♦-«*), ^ (a -♦- A) = A^ (a -4- 0|A);

donc

f(oH-A) IM. En général, si

lim

f' {a -h 9ji)^ f' {a)

/•(a)=0. /'(a)=0, r(«HO, ... f(«H), y'(a)==0, ,»=0,...

et que /^'(x), f^(x) soient les deux premières dérivées qui ne s'annulent pas simultanément, on a

INDÉTERMINATIONS APPARENTES.

f9«. Interprétation géométrique. — Lorsque f{x) cl

cp(x) s'annulent pour x = ay réquation

représente une- parallèle AB à Taxe des ordonnées , et une courbe CD. La fraction devient l pour x=^a, parce que tous les points de la droite AB ont pour abscisse a; mais parmi ceux-ci , il y en a un , le point Ry qui appartient à la courbe CD : trouver la vraie valeur de la fraction y c*est déterminer QR s» Hm PM. Si Ion fait abstraction de AB , on peut chasser le dénominateur, et écrire

d'où y en prenant les dérivées :

199. Remarque. — Si Ton voulait déterminer le coefficient angulaire de la tangente cfn R» on devrait prendre la dérivée seconde :

yf" {X) + 2y>' [X) + y"y (or) = f" W ;

et Ton aurait

puis

cette valeur n*est que la moitié de la dérhée de y. (a étant considérée comme une variable).

Aj^pllcatloBs.

. ^ e — 2 cos X -f- c~* 198. i'^y^ : ,poMrx = 0:

sin X

(e" -♦- 2 sin X — e"^\ =0.

COSX /o

^^ c" — 2 cos X -4- e""'

^ y= li^x 'P»"'-* = o =

/e'-t-2sinx — e""\ /e'-f-2cosx-t-c~*\ \ 2 sin X COSX /o \2(cos'x — siD'x)/o

Ordre d'an Inflnlmeiit petit.

190. La fraction ^""^^?t^"^'~', prise pour exemple, tend vers la limite 2 quand ^converge vers 0. II en seraitde même, évidemment, pour la fraction *'""^^^*"*"^~'; donc, x étant considéré comme infiniment petit principal, la fonction z=e' — 2cosx+e~* est un infiniment petit du deuxième ordre. Les développements en séries conduisent à la même conséquence; car

cosx = i 1 ••:

et, par suite,