Soit, conime seconde application
cette fraction devient § pour x=0. Or, pour les valeurs de X sufllsammenl petites :
INDÉTERMINATIONS APPARENTES. 435
donc
— X — --t--x' -♦-••• — -+-— XH
et
yo=--
184. Dans le cas que nous considérons , on peut quelquefois faire subir, à la fraction donnée , une transformation purement algébrique^ propre à introduire, dans les deux termes de la nouvelle fraction , un facteur commun rationnel. Soit, par exemple,
V/xTT— 2
l/xH-9 — 3
Si Ton multiplie les deux termes par l/x-f-4-i- 2, le numérateur sera rendu rationnel; et, comme il s'annulait pour x=0, il sera divisible par x. De même, en multipliant les deux termes par l/x-i-9-i-3, on rend le nouveau dénominateur divisible par x. En résumé :
FraclloBS ^.
ts&. Soit y = ^ une fraction qui prend cette forme indéterminée, lorsque x = a. Soit A la limite inconnue vers laquelle tend y quand x croit indéfiniment. En général,
et, d*après Thypothèse, celle nouvelle fraction devient ^ pour x=a. Donc, d après la régie (iSt),
^ fi'') Lf(y)J /'(«)
On tire, de cette équation,
If' («)
Ainsi, pour trouver la vraie valeur d'une fraction ■—- qui devient^ pour x=a, on prend le rapport des dérivées des deux termes, et l'on y remplace x par a : la règle est la même que pour les fractions ^.
tae* La démonstration précédente est en défaut lorsque A=0 et lorsque A = =t oo ; mais on va voir que la règle subsiste dans ces deux cas.
1" Soit A = 0. Prenons
AW A J) -»• 9? (^)
Cette fraction a pour limite g^ et ses deux termes devien-
INDÉTERMINATIONS APPARENTES. 437
nent infinis pour x=a. Donc, par le théorème précédent, applicable parce que la constante g est supposée difierente de zéro :
Ainsi
2» Si A = Hmy = ±ae, lim-= limi:^=0 = i-i-i;
donc
Appileatlons*
tS9. 1* i/ = ^ypourx=x>
Appliquant la régie (iS&), on trouve
Hm 2^ = lira
e^-Hc-'
la même difficulté subsiste. Mais comme, d'après la dernière formule, lim y =lim^, il s'ensuit que lim y=^.En effet,
y = -, — rrî
et les deux termes de la nouvelle fraction tendent vers runité.
2* y = , pour X = 0.
colx
X sin'x
Lim V = = — lim = 0.
sin^x
Antres formes iMdéfermlBéefl.
189. I"" 0 X 00 se ramène à ^ ou à ^. Soif, par exemple, y = xcoix : pour x=0, le premier facteur est nul, ei le second, infini. Mais
Igx donc
2* 1* se réduit aisément à ooXO, puis à J. En effet, si j/=m", etque, pourx=fl, on ailH = 1, f=oo, on trouve, en prenant les logarithmes : \y^=vlu; donc x=a donne |j^=oo XO. Mais, x étant quelconque,
et cette fraction devient l pour x=a.
Soit, par exemple,
ou
INDÉTEllMINATIONS APPARENTES. 45)
Le rapport des dérivées des deux termes esl, après suppression d'un facteur commun, — ^•. Donc
lim . 1 y = 1 , lim // = e ;
résultat connu (âlg., tes, III).
o" 00 — 00 se ramène à Tune des deux formes principales. Soit
y = sec X — tg X : pour x = --, t/ = oc — «.
Or,
i — sin X
sec jp — tg X = ;
cosx
donc
cosx
lim y = lim = 0.
sm X
y == \ / — : pour x = 1 , ty = x — oo
tSS. Soit encore, comme exemple de ce Iroisième cas,
l/x -4- 5 — ti
Si Ton réduit au dénominateur commun, on trouve d'abord
__ l/xTT (U^jr^^5 — 2) — xl/x — 1 »/x — i [l/'x -4- 5 — 2]
puis, en remplaçant x pnr î -+■ A :
1/ JTÂ (l/4rT"Â — 2) — ( I -t- A) l/Â
2V/2(l..^)'[(i^y-l]-(lH-A)A^
Le produit
8 Vd2 128/
Ainsi
2l/2r-A^...l — A* -i+il/2A*
2A'[iA-...]
el
\ïmy = y^=QO.
t4ll. Remarque, — On serait arrivé plus rapidement au résultat en écrivant
y/g'— 1 x(t/^^^-4-2) \/^^^^— x(l/IT54-2)
IndélcriiiliiatloBs réelles.
141. Tout ce qui précède suppose que la fonction proposée u une vraie valeur; ce qui n*arrive pas toujours. Par exemple, il n y a pas à chercher la valeur de séc x — tgx potir X infini : la fonction est périodique; donc, x augmentant indéfiniment, elle ne tend vers aucune limite.
t49. Enfin, il peut arriver que la fonction donnée ait une limite, et que la fonction à laquelle on la ramène n en ait pas. Ainsi, ^^*'J^^ devient l pour x=dboo (malgré l'indétermination apparente); et la fraction |]^T*, à laquelle conduit la règle générale, est indéterminée pour x = ±oo .
INDÉTERMINATIONS APPARENTES. 441
Des frAcllouii -
