Soit, pour fixer les idées

Si Ton suppose, simultanément, x=s2, !/ = f , on trouve 2=5. Pour essayer de déterminer la vraie valeur de z (en supposant qu'il y en ait une), faisons les deux substitutions successivcTnent :

!• jr=2 donne

puis , pour y = i : r^ = — -!.

2« y=i donne

rc* — ox -t- 2 X — I X* — 4 """x-t-â'

puis, pour x = 2 : «3=^.

Ainsi, /^^ detix t;f*ate« valeurs sont différentes. Il y a plus : si Ton établit, entre xeiy^ une relation qui soit vérifiée par x=2, î/ = 1 , on peut trouver une infinité de vraies valeurs de z. Soit, par exemple,

y — i = a (X — 2) , OU

Alors

a:« ôjc ^ 2 ^ 2a (x — 2)

CALCUL DIFFÉREI^TIEL.

en sorie

Pour x = 2, cette fraction se réduit à i-^^ qu'elle admet une infinité de valeurs différentes. On doii conclure, de cet exemple particulier, qu'une fraction 7^^' qui devient J pour x=a, y=b, est généralement inëterminée,

144. Interprétation géométrique, — L'équation (I) représente une surface qui contient la droite CD, dont les équations sontx=2,î/=l.

Si Ton fait d'abord a; =2, on trouve la section de la surface par le plan CDAE :

cette section, représenlée par

FI

Ji

se compose de CD et d'une K hyperbole GH qui coupe CD

en un point G dont l'ordonnée est — \, Au contraire, y=\ donne la section faite par le plan BCDF : cette nouvelle section se compose de CD et de l'hyperbole IK. Enfin, si par la droite CD on fait passer une surface quelconque, l'intersection est une courbe LMN, coupant CD en un point M; et, quand la surface varie, le point M se déplace. 145. Cas d'exception, — Si, pour x=a, y =6, on imuvp

df do df d?

dx dx dy dy

la fraction proposée a une vraie valeur^ égale à 1, En effel, à cause de /"(a, 6) = 0, 9(0, 6) = 0\ on a

do , do , da (10

INDÉTERMINATIONS APPARENTES. 443

puis, comme les restes R, R| sont du deuxième ordre :

df df^, k

y/ t I fx "• — * — n"**™T fia -♦- A, 6 -f- k) da du h

lim ; — z r- = ; r = >.

y(a-4- A, 6 -♦- «) aç> dv k

da db h

Soit, par exemple, la fraction

«gartjçy — 1