CHAPITRE XI

MAXIMUMS ET MINIMUMS.

VoBCllOBs explicites d^mné «enle Tarialile.

140. On a vu, dans VA Igèbre (Ma) : 1 *" que, pour déterminer le maximum et le minimum de y=^f{x\ on doit chercher les racines a, 6, c, ... de Téquation /*(x)==0; 2** que f{a) est maximum ou minimum, suivant que f (a) est < 0 ou > 0.

Le Théorème de Taylor permet de généraliser ces résultats. Supposons, en effet, qu'une racine a de f(x)=0 annule r'(*)>r"(^)> —/*(*)> ^^^^ annuler r^\x). Alors

f[a + A) = f(a) + J^1^^— /-+' (a + eA).

Pour des valeurs de A suffisamment petites, le signe de r'(a-h Bh) est celui def^^a) ; car lim /*+'(a h- eA)=/-+'(o). Il faut maintenant distinguer plusieurs cas : 1° /^'(a)> 0, n pair. Alors

/i étant suffisamment petit :

Il nV a ni maximum ni minimum, 2* r"^'(û)<0,npair;

/•(« + h) < /-(a) , f(a-h)>f{ay.

ni maximum ni minimum.

3» f*'(a)>0, n impair;

fia -h) y fia):

minimum.

4» /*^'(o)> 0, n impair;

maximum.

En résumé : 5i x = a annule {'{x) y f"(x), ... f"(x), sam

annuler f°'*^(x), t7 y a maximum ou minimum suivant que

f**"'(a) esl négative ou positive^ n étant impair. Quand n est

pair, il n'y a ni maximum ni minimum.

AppllcatlOBa.