Premier exemple

doù

4 — Ix

Cette dérivée s*annule pour x=e; d'ailleurs la fonction z est croissante dex = Oà x=l :ilya donc maximum pour x = e; et il n*est pas nécessaire de recourir à la dérivée seconde. Cependant, si on la cherche, on trouve

— x^2x(i — Ix)

donc, pour x= 1, z''<0; ce qui devait être. En résumé, le maximum de y est

lVe=i,447 998.

MAXIMUMS KT MINIMUMS.

tâS. Deuxième exemple : Çtrc/ chemin doit suivre un

point lumineuXf pour aller de A, enB, dans le temps le plus court possible? On suppose que les milieux auxquels appartiennent les points A, B, sont séparés par un plan P, et que les vitesses du point lumineux sont a^ b.

Evidemment , le chemin cherché est composé de deux lignes droites. En outre, comme on le reconnaît aisément, le plan AMB doit contenir la normale MM au plan P.

Cela posé, soient p, q, r les distances AC, BD, CD; et a, p les angles d'incidence et de réfraction, inconnus. Le temps employé par le mobile est

AM

BM

a cos oc

6cos^

De plus,

r = ptga-H7tgp.

On a donc, à cause de dt=0 :

p sin a . a sin Q . pda. qdQ

a cos a

6 cos'p

cos'a cos'p

On lire , de ces équations ,

sîn a sin p

Celle-ci exprime la loi de la réfraction, trouvée par Descartes.

i49. Remarque. — Soit B' le point symétrique de B.

Si Ton considère les courbes B' représentées par

chacune d'elles jouit de la propriété exprimée par Féquation (1). Ces courbes sont des ovales de Descartes (*). Parmi toutes ces ovales, il yen a une qui toucbc CD au point inconnu M.

tdO. Troisième exemple : Trouver, sur la circonfét^ence

AB f vn point dont la disttmce au point donné P soit maximum eu minimum.

Il est évident que B, A sont les points cherchés. Néanmoins, la règle ordinaire conduit à un

autre résultat.

Soient

On a d'où

OA = a, OP = c, PM = u.

îi* = a' -f- â

du

2cx.

Si Ion égale à zéro ^, on trouve c = 0; ce qui na pas de sens. Cette difficulté, signalée par M. Liouville, tient à ce que la variable x n est pas complètement arbitraire : elle doit élre comprise entre — a et -i-a. Il en résulte que si Ton considère, par exemple, le point extrême A, on n obtiendra pas les points voisins en faisant x==a dz A; ce que Ion a supposé (Alcî., t«4). Pour rentrer dans la théorie ordinaire, il suffit de remplacer x par une variable arbitraire.

(*) L'eUipse en est un cas particulier.

MAXIMUMS ET MINIMUMS. 449

Soit, par exemple, x==c + u cos a>. Alors

tt' -♦- 2cti cos » -♦- c" — o' = 0.

On tire , de eette équation :

(u + c cos ») u' — eu sin » = 0, (tt -♦- c cos «) t*" — 2ctt' sin » — cti cos » = 0.

ii's=0 donne sinci>=»0, c'est-à-dire a> = Oy <ùs=sn. En

même temps ,

eu cos »

Il H- c cos »

eu

!• Pour « = 0, 1*" = > 0 : minimum;

2* « = 7r, ti" = <0:maxtmiim;

ce qui est exact.

ISl. Nous venons de traiter un exemple de ce genre de questions. Pour prendre un cas moins particulier, supposons qu*il s'agisse de déterminer le maximum d*une fonction u de X, déterminée par les équations

V(u,x,y,z) = Oy (2)

A«>ar, y, «) = 0, (3)

En général , il y aurait n équations entre la fonction u, la variable indépendante x et les n — 1 variables auxiliaires

Si, entre les équations (2), (3), (4), on pouvait éliminer y et z ; et si Ton pouvait ensuite résoudre Féquation finale, on aurait iis=:^(x); après quoi Ton poserait ^=0, ou simplement (ltt«=0. Différencions donc les équations proposées, en supposant du^=0. Nous aurons ainsi :

dF d¥ dF

-rfx^--dy^-rfz = 0, (5)

^dx^^dyH-^rf« = 0, (6)

dx dy ^ dz

--!.dx-4--^rfw-*--7^d« = 0. (7)

dx d\j ^ dz ^

Entre ces équations différentielles, qui détermineraient les valeurs des rapports ^' ^, relatives au maximum de u, éliminons dx^ dy^ dz; nous trouverons une équation

en la joignant aux proposées, on pourra, dans chaque cas particulier, calculer les valeurs de x, j/, z, u, qui répondent à la question.

159. Méthode des multiplicateurs, — Au lieu d'opérer comme nous venons de le dire, on peut combiner, par addition, les équations (5), (6), (7), après avoir multiplié les deux membres de deux d'entre elles par des inconnues >, fx. Si Ton choisit ces facteurs de manière à rendre nuls les coefficients de dx, dy, le coefficient de dz est pareillement nul, et Ton a

dF df df ^ dF df do

dx dx dx dy dy dy '

dF d£ d^

dz dz dz

Ces nouvelles relations peuvent tenir lieu des équations (5), (6), (7); et, si Ton élimine X et fx, on retombe sur réquation (8) ; savoir :

dF/d/'df^d^dA ^(^^^^ dx \dy dz dy dz) dy \dz dx dz dx)

\dx dy dx dy)

MAXIMUMS ET MINIMUMS. 461

Wmeiî^wui de plasiears vavtalilcs f diépcaJa

!&•• Soit, pour fixer les idées, u=^F(x, ;/, z). Si u est maximum lorsque x=a, y=by zs=c, on a, par définition du maximum,

F (a, 6, c) — F (a zb A, 6 =fc A, c rt: /) > 0,

pour des valeurs de A, A:, { suffisamment petites. De là résulte, immédiatement, que les équations

dF d¥ dF dx ^ dy ' dz

sont vérifiées par x=a, j/ = 6, jz=c. En effet, (••)

/ dF dF dF\ F(a-*-A, 6-1- fc,c-i-/) — F (a, 6, c) =*-—-♦-*—-+-/ — U-R;

\ da do dcJ

et, si les coefficients de A, A:, / n'étaient pas nuls, on pourrait, en attribuant à ces quantités des signes convenables et des valeurs suffisamment petites, rendre

F(a-.A, 6 — *, c — /)— F(o,6,c) et

F(o -♦- A, 6 -f- fc, c -f- /) — F(o, 6, c)

de signes contraires : F (a, 6, c) ne serait donc ni un maximum ni un minimum de F(x, y, z).

t&4* Autre démonstration. — Soient d'abord y=cp(x), z=({;(x); X étant la variable indépendante. La condition

du

dx devient

dF dF dF

Pour revenir au cas où y et z sont variables indépendantes, il suffit de supposer que (p(x) et ip (x) soient des fondions arbitraires. Alors Féquation (9), devant avoir lieu pour toutes les formes possibles de (f'(x) et de ^'{x), >c décompose en

d¥ dF dF

ax dy dz

CondlUoBs du maximum et da mialmam.

t&&. Fonction de deux variables, — Soit d*abord

u = F{Xyy).

Par ce qui vient d'être démontré,

X eiy remplaçant a et 6.

Nous admettons que, pour des valeurs de A, k suffisamment peu'tes, le signe du second membre est celui du trinôme

(PP.. d^F ,, cPF„

dx* dxdy dy*

Pour n'avoir à considérer qu'une seule variable, remplaçons k par hk : abstraction faite du facteur positif A^ T

devient

cPF , cPF dPF

c(^* cixc^j^ dx*

Si ce nouveau trinôme est négatif quel que soit X, F(x, y) sera 97iaxtmum.

Pour qu'il en soit ainsi , on doit avoir, simultanément :

cPF ^ /cPFV <PF (PF ,,.,

MAXIMUMS ET MINIMUMS. 455

Telles sont les conditions suffisantes pour qu1l y ait maximum. De même» les conditions du minimum sont

IMI. Remarques. — I. Si les valeurs a, 6, de x et y^ qui annulent ^' ^, annulaient aussi le trinôme T, les conditions du maximum et du minimum deviendraient beaucoup plus diflBciles à établir : il n'y aurait même, dans la plupart des cas, ni maximum ni minimum.

II. Si Ion regarde h ti k comme des coordonnées , on voit que Téquation

d«F,, « rf'F .. à^ ..

représente une ellipse proprement dite. Ceci se rapporte au cas du maximum. Dans le cas contraire, on est conduit à la relation