AB* -^ A'B'« ^- A"B"» — AA'A" — 2BB'B
Ainsi, les conditions suffisantes pour qu'il y ait maiimum
sont :
AB« ^ A'B" -H A"B''* — AA'A" - 2BB'B" > 0. Y 168. Remarque. — Elles conduisent à celles-ci : A"<0, A<0, B'* — A"A<0, B"> — AA'<0; que Ton pourrait trouver directement.
§*•• I. Trouver le maximum et le minimum de
ti* = a:* -♦- y' -+- z\
en supposant
MAXIMUMS £T MIIflMUMS. WK
Éliminant z^, on a
puis
Cetce valeur du rayon vecteur est un minimum. En effet, si Ton prend les dérivées secondes, on trouve
dfu ^ f? d^u ^ cPu ^ c
u a= I — ■ — > II — = 0. u — = 1 :
dx* a* dxdy ' rfy» 6»'
donc
»• Si Ton avait éliminé x', on aurait trouvé, de la même manière ,
et cette valeur de u est un maximum. Enfin Télimination de y^ conduit à
celte valeur de u n^es^ ni un maximum ni un minimum. Elle donne, en effet :
dHi il. 6*\ (Pt/ Ainsi
:«"^tl ""■?;' dtedz"" * d?~6V""?/'
etc.
t«l. Itemargti^. — Dans cet exemple très-simple, il a fallu , pour ne laisser échapper aucune solution , mettre la valeur de u^ sous trois formes différentes. Cette circon*
stance parait se rattacher à celle qui a été signalée dans le cas des fonctions d'une seule variable (tft#) : quand on écrit
on ne trouve pas le maximum a, parce que x ne peut surpasser a.
109. IJ. Perpendiculaire abaissée de Vorigine sur m plan. — Les équations du problème sont (*)
t<* = ac* -♦- y' -♦- z' -*- 2yz cos a -♦- 2zx cos p -i- 2xy cor r >
abc
Le minimum de u est déterminé par les équations différentielles :
(x -♦- z cos p -4- y cos r ) dx -♦- (y -♦- X cos r H- z cos «) iy -♦- (z -♦- y cos a -4- X cos p) dz = 0,
- dx -♦- V dy -♦- ~ dz = 0.
Si Ton emploie la méthode du multiplicateur (Ut)t on peut choisir X de manière à rendre nul le coefficient de dx; après quoi, dy et dz étant des accroissements arbitraires, leurs coefficients doivent être séparément nuls. On a donc
---♦-x-i-zcosp-4-ycosr=0, •T--*-y-f-xcosr-»-zcos«=0,
- -4- z H- y cos a -♦- X cos p = 0.
L élimination de X conduit aux équations de la perpen^ diculaire :
n Manuel des Candidats, t. Il, p. 31.
MAXIMUMS ET MINIMUMS. 457
XH-«co8(3-»-yeosr y-4-«cosr-*-«cosa z-i-ycosoL-^xeos^ A "^ T "" ï
De plus f chacun de ces rapports égale u^.
t«S« Remarque. — Le problème revient à déterminer, parmi tous les points d'un plan, celui dont la distance à l'origine est la plus petite possible : c*est une question de minimum relatif. Or, si Ton cherche le minimum absolu de
u* étant la même fonction que ci-dessus, on retombe sur les équations précédentes. Par conséquent, la méthode des multiplicateurs revient à substituer un problème de minimum absolu à un problème de minimum relatif.
tML. III. Mener un plan tangent à un ellipsoïde donné, de manière que le triangle formé par les intersections de ce plan, avec les plans principaux, ait une aire minimum.
L'équation de Telh^psolde étant
si Ion appelle 9 Taire du triangle déterminé par le plan tangent au point (x, y, z), et que Ton fasse
réquation (14) devient
M-*- r-»- ii; = l; (16)
et Ton trouve aisément
458 CALCUL DIFFÉRERTUSL.
La condition cff =>0 conduit à
ou
2[?-ië-^^-^?)]''»=o.
2/» tp\ du ^
De plus y
du -i-cfvH-dtosssO.
Retranchant, membre à membre, les dernières équations, après avoir divisé par X tous les termes de la seconde, on trouve
ou
TÎ-+--Ï— 7=0, -i-t--j = 0, -i + TT = 0.(19)
L élimination de ti; donne
puis, à cause de la symétrie, et par les propriétés des proportions :
u V iv 1
/ g' \ / fe' \ / c' \ g» fc« c'
MAXIMUMS ET MINIMUMS. 459
Od conclut encore, des équations (19)»
Donc
o*-+-a b*-hX c'-*-i o'-h> 6'-4-a C*-4-A
On a ainsi, pour déterminer >, Tune ou l'autre des équations
Celle-ci, développée, devient
Les équations (20) et (21) donnent
puis, par les formules (IS) :
2a'-fr-i "^ 2 6*-i-a 2c'-hx
»• Soit d la distance du centre au plan tangent. On a, par une formule connue,
ou
OU encore 9 d*après Téquation (21 ),
tue. Remarques. — I. Si Ton fait J=^, on a, au lieu de réqualion (23) :
et alors, d'après un problème contenu dans YArithmitiqw universelle de Newton , t est le diamètre du dem-œrd^ auquel on peut inscrire trois cordes consécutives, égales à des droites données a, b, c.
