Ces points sont ceux où la concavité chamge de sens
si Tare ABI est convexe vers le bas de la figure, et que le contraire ail lieu pour Tare ICD, I est un poini d'inflexion.
La remarque précédente conduit à celte autre définition, que nous avons déjà donnée (Alg., 879) :
les points d'inflexion d'une courbe sont ceux où le coef/îcient angulaire de la tangente devient maximum ou minimum.
t78. Remarque. — D après la première définition : ei% un point d'inflexion I, la tangente TT' traverse la courbe.
II©. Détermination des points d'inflexion. — Les valeurs de X qui rendent /" (x) maximum ou minimum sont, ordinairement, racines de/^'(x) = 0 (140) : celte équation détermine donc, ordinairement aussi, les abscisses des points d'inflexion de la courbe.
t80. Remarques. — I. Si une racine a, de /*'(x)=^0,
annule f"(x)y ^"^ P^"^ "^ P^^ correspondre à un point d'inflexion. Par exemple, î/=x* représente une courbe qui a Taspect de la parabole ordinaire; et cependant /*'(x) = 0 donne ar=0; mais ce nombre est racine de f"(x)==0.
II. Plus généralement, si a annule f*'(x)y T^C^)» •••> /**(ac), sans annuler /^*(ac), il n'y a pas inflexion quand n est impair; il y a inflexion dans le cas contraire. La démonstration est toute semblable à celle que Ton a vue dans la théorie des maximums (t4IB).
III. Quelquefois les points d'inflexion peuvent être déterminés par réquation f\x) = QO : dans la première parabole cubique j représentée par y==x^, Torigine est évidemment un point d'inflexion; et 2/" = — |x~* devient infinie pour a;=0. Mais, si Ton change x en y et y en x, l'équalion de la courbe devient y = x^y et la règle ordinaire est applicable.
Blfférentlelle de Tare d'une courbe*
ISfl. Représentons par «la longueur d'un arc quelconque AM , comptée à partir d'un point fixe ou origine A. Soient : X, y les coordonnées rectangulaires de M; x-+-Ax, y-^t^y
les coordonnées d un second point M' de la courbe AM, infiniment voisin de M; As, raccroissement MM' de AM;
Cy la longueur de la corde ^— j, MM'. On a
et (11) donc
puis, si Ion appelle t la variable indépendante ,
La quantité e s*annule en même temps que At (11) (*): à la limite, Téquation devient donc
dyV
ou
©■=(S^fê)
ds^ = rfx' ■+■ dy\
quelle que soit la variable indépendante.
199. Angles de la tangente avec les axes. — En les désignant par a, (3, on a, en vertu de la dernière relation el de la formule tg a = ^^ :
dx dy
cosa = -— 9 cos ô = sm « = -rds ds
(*) On va voir, mais cela est indifférent pour la démonstration, qœe est un infiniment petit du deuxième ordre.
19S* Longueurs de la tangente et de la normale, — Si Ton se reporte au n*^ 17S, on trouve
y ds
MT == tangente = — ^— = y -r- '
sin a dy
MN = normale = = y -.-
(îOS a dx
194. Théorème. — La différence entre un arc infiniment petit et sa corde est une quantité du troisième ordre. Lare AMB=« étant supposé assez petit pour qu'il soit
convexe, menons la corde AB=c et '^ les tangentes AC, BC. Soient a, P les angles ABC, BAC : ces angles sont infiniment petits , puisqu'ils s'annulent quand le point B, supposé mobile, vient coïncider avec le point "^ fixe A. La longueur s est comprise
entre c et AC-f- BC; donc
« — c < AC-4-BC — c, ou
sin p
fsm a -H sm ô 1 8in(a^-Ô) J'
sin (a -4- p) ou encore, par une transformation simple,
e sm - a sm - d « — c< j
ces - (a -H p)
Le dénominateur a pour limite 1 ; les trois facteurs du numérateur sont infiniment petits; donc, c étant pris pour infiniment petit principal, s — c est du troisième ordre.
470 CALCUL DlFFÉRE?iTIEL.
185* Remarque. — Si Ton remplace Tare AMB=s par j^ la circonférence osculatrice (*), on a
