Différentielle de l'arc, — Le triangle MPM' donne

immédiatement,

ds^ = du» -4- uV«», (4)

relation à laquelle on arrive aussi (sa) en partant de

ds^ = dx* -+- dy\ ac = w cos «, y = u sin «.

f fMI. Angle de la tangente avec Vaxe polaire. — L'angle

a est extérieur au triangle OGM; donc

a = « -h V = « -+- arc tg — • (5)

(*) Il en résulte le théorème sur les conchoîdes (!•).

^•t. Points d'inflexion. — Ce sont ceux pour lesquels a devient maximum ou minimum (199); donc ils sont déterminés par Téquation

rfV w'« — t/u"

a« u ' -+- II"

ou

u« -H 2u" — uu" = 0. (6)

^•t. Remarque. — Si Téquation de la courbe peut être mise sous la forme u=-^y on a

a = »— arclg—; (7)

puis, au lieu de Téquation (6),

OU enfin

MS. Application. — Soit

ce qui donne

i — - ces 4«

y = l cos4», /=2siD4a7, f'' = 8cos4u.

L'équation (8) devient

in cos 4« == 0.

AU

Les points d'inflexion sont donc déterminés par les formules

COS 4(0 = — ^— > u =

Si Ton considère le premier quart de la courbe y on trouve qu'il a la forme indiquée x' ci-contre. Pour le point d'inflexion I, la valeur de 4go est comprise entre ~ ec | tt ; donc

La formule (7) peut être écrite ainsi :

lga =

Pour calculer cette valeur, remarquons d'abord que, d'après les inégalités précédentes,

sin4« = -H\/l— (— ) ==-H— \/22T, cos2a=-*-\/— ' y \l5/ 15 ' V 30

tgtf=-t-

V/5Q — y/io Î7Ï7

puis

tga =

Le numérateur est négatif; dont la tangente en I fait, avccOAy un angle obtus. Au moyen des tables trigonométrîques, on trouve a==178**47'.

I. Trouver les points d'inflexion des courbes représentées par

y- , II—: , ||= ,

1 cos — » 1 cos 6u i cos— «

a* a sin 5»

tt*=— 5 ti = -*-6nj u = a(tgw — i), t/'=a'

a COS» COSco