CHAPITRE XIV
C«iil«el el o«calatl«ii.
t»4. Divers ordres de contacts. — Soient f/ = /'(x\
7 y==(p(x) les équations de deux courbes MA, MB ayant un point A commun M. Il en résulte
p'"^ s désignant, suivant Tusage, un infiniment petit, de même ordre que A.
Si MA, MB ont une tangente commune MT,^(x)==(p'(x); donc
6i s'annulant avec h : on dit que les deux courbes ont un contact du premier ordre.
Si, axec r(x) = (f'(x), on a r(x) = cp"(x), la différence des ordonnés MT', M'T' devient
il y a contact du deuxième ordre; et ainsi de suite.
!•&• Remarque. — Quand le contact est de premier ordre, d ne change pas de signe avec A : près du point de
contact, Pune des courbes est intérieure à l'autre. Au contraire, ]e contact étant du deuxième ordre, S change de signe en même temps que h : les deux courbes sont sécantes. Cette propriété est générale : suivant que l'ordre du contact est pair ou impair, les deux lignes sont tangentes et sécantes y ou simplement tangentes.
iMi. Si les courbes MA, MB ont un contact d'ordre n, et qu'une courbe MC ait, avec MA, un contact de Tordre n — 1 seulement, le rapport des valeurs correspondantes de d a pour limite zéro. Par conséquent : dans les environs du point M, la courbe MB s'approche de M\plus que toute autre courbe MC ayant, avec MA, un contact d'ordre infé-
rieur à n.
tll9. Courbes osculatrices. — Quand on dispose des paramètres contenus dnns (p(x), de manière que Tordre du contact entre MB et MA soit aussi élevé que possible, la courbe MB est dite osculatrice à MA. Ordinairement, Vordre du contact de MB avec MA est égal au nombre des paramètres, diminué de l'unité : en effet, il faut n-hi équations pour exprimer qu'il y a contact d'ordre n. Par exemple, comme l'équation y^^ax-^-b renferme seulement deux paramètres, la droite osculatrice à une courbe est, simplement, la tangente à cette courbe.
Cercle osenlalear.
t98. Supposons que la courbe osculatrice soit la circonférence représentée par
Cette équation contient trois paramètres; donc le cercle osculateur est celui qui a un contact du deuxième ordre avec la courbe. Pour déterminer a, p, p, il suffit d'exprimer que
X, y, y' el y' ont mêmes valeurs pour la courbe donnée ei pour le cercle cherché. D'après Téquaiion (1) :
Ainsi, dans chaque cas particulier. Ton devra remplacer
î/',!/"parr(x),r(^)-
On lire, des relations (2), (3) :
puis, en désignant par 0 Tangle de la tangente avec la partie positive de Taxe des abscisses :
y — p = qppcose, X — a = ±psine;
ou bien :
jB = y db p cos ô, a = x :::f: p sill ô. (7)
Conséquemment, en partant de Téquation d'une courbe, on peut déterminer le cenire et le rayon du cercle osculateur à cette courbe.
!••• Remarques. — I. Le rayon p est souvent regardé comme essentiellement positif : on doit donc attribuer à 1/(1 H- 2/'^)' le signe de j/". Néanmoins, si Ton veut que la formule (6) donne la grandeur du rayon et le sens dans lequel il est dirigé, on peut convenir de prendre positivement le radical; et alors p est siiué au-dessus ou au-dessous de la courbe, selon que celle-ci tourne sa convexité ou sa concavité vers le bas de la figure (195).
II. Aux points d'inflexion, le cercle osculateur est remplacé par la tangenfe. En effet, le rayon p devient infini lorsque j/"=0; et celte condition détermine les points dont il s'agit.
900. Expressions diverses de p. — A l'occasion des Changements de variables, nous avons trouvé
ds'
p = ^3-i5 Tir' W
suivant que la variable indépendante est quelconque, ou qu'elles est &), ou qu'elle est s.
A ces formules, on peut ajouter celle-ci :
que l'on déduit aisément de la deuxième, en supposant (199)
puis les deux suivantes, dont la vérification est facile :
dx dy
(•) Si, pour l'homogénéilé, on écrit u=-, cette égalité constitue la transformation par rayons vecteurs réciproques.
(**) Elles m'ont été indiquées par M. Mansion , professeur à T Université de Gand.
Application «as eoBl^nea.
••t. Considérons d'abord lellipse représentée par
ay -4- t V = aW.
On tire de celte équation, en prenant x comme variable indépendante :
a^yy' -♦- 6'a: = 0 , a'y * -*- a'yy " -♦- 6' = 0 ;
La formule (7) devient donc
^ (gy ^ 6Vf a*6*
Telle est la valeur générale du rayon du cercle osculatewr à l'ellipse.
M%9. Si Ion élimine j/^ on trouve
,[a* — (a«>-6')a''] ^ "^ aV '
et il est visible que p' est ^tmmtim pour \=±tkf maximum pour x = 0; c'est-à-dire aux extrémités du grand axe et aux extrémités du petit axe. Pour les premiers points,
p, == minimum =— ;
et , pour le second ,
P2 == maximum =
De ces deux formules, on conclut que :
Le rayon du cercle osculateur, en un sommet de l'eUipse
est une troisième proportionnelle au demi-axe aboutissant à ce sommet j et à Vautre demi-axe.
)90S. Transformations de la formule. — 1° Si Ton appelle d la distance OD du centre à la tangente MT, on a, par une propriété connue ,
Au moyen de cette valeur, on peut écrire ainsi Tégalilé(12):
2® Soit a' le demi-diamètre parallèle à MT : le premier Théorème d'Apollonius consiste en ce que da'^^ab- (*); donc la dernière formule se réduit à
Celle-ci exprime ce théorème, généralisation du précédent:
Le rayon du cercle osculateur, en un point quelconque M
de Vellipse, est une troisième proportionnelle à la distance
de ce point au diamètre conjugué de My et à la moitié de
ce diamètre conjugué.
(*) Manuel des Candidats, 1 1, p. 429.
S"* Si l'on désigne par u, v les rayons vecteurs aboutissant au point M, on a {*)
uv
I c \( c \ , c« a*-aV-*-6y
Mais
ou bien
aY-^b*3f aV
uv
904. Construction géométrique. — Menons la tangente A'R; joignons le point R, où elle eoupe la tangente MT, au pied P de la normale MN; et élevons RQ perpendiculaire à PR. D'après la formule (i 3), MQ==p. Conséquemment, le point C, symétrique de Q par rapport à M, est le centre du cercle osculateur.
tOft. Autre construction. — En désignant par n la 1od> gueur de la normale MN , on a (tss)
(*) Manuel des Candidats, 1. 1, p. 414. (•*) Comme Ç = a'*, on a
uv.
Ainsi , le demp-diamètre, perpendiculaire à la normale, est moyen proportionnel entre les deux rayons vecteurs.
De cette remarque, on déduit aisément la construction des CLXes, au moyen d'un système de diamètres conjugués, construction donnée par M. Cliasles, il y a longtemps.
donc la formule (6) devient , à cause de y"= — tj :
ou, si Ton appelle p le demi-paramètre, égal à - :
Aiusîy dans l'ellipse, le rayon du cercle osculateur est égal au cube de la normale, divisé par le carré du demi-para* mètre (*). On peut donc construire p au moyen d'une troisième proportionnelle et d'une quatrième proportionnelle.
9MI. Coordonnées polaires. — Soit Téquation
i — e cos »
qui appartient à toutes les coniques. On en conclut :
i — e ces M 6 sin » 6 ces »
puis y par la formule (10)»
P =^(1 — 2«cos » ^- e')*. (17)
Pour simplifier cette expression , on peut observer que,
la normale MN étant bissectrice de Tangle FMF,
on a
FN w
FN = -ti = eM; (18) a
(*) Oo va voir qae ce Uiéorème subsiste pour tontes les coniques.
^2 CALCUL DBFFÉRF-* JL.
5» Si Ton désigne paru, sant au point M , on a (* ^ ces » -i- c').
( "" ^[a ^ la formule (16) en
Mais ^ "" «•*
,4r^t<m.^^<^. - Si l'on désigne par 6 J«"« ,/; <<,ue l'on abaisse NG perpendiculaire à Mt .
;' ^9«-FNcos«==«(i-««»");
ou h ^
r^ualion (16) :
"'•'"^ «cose = pn. ^'^^
, , donc Bnalement. au lieu de la formule (14),
^""cos'e" ..s. Con,/r«c«.-o« géomctr.g«e. - Celle qui résultcde , Lniére expression est fort simple : l^^^^^. ver le centre C du cercle osculateur, d e/«^er NP p«^ liai.: « la normale MN. p«i» PC perpendtculatre au r«jo« vecteur FM.
n L. reUUon (19) exprime que. dans toute «'"'■9"'' '«P;;?^^! lanonnale, sur le rayon wrf.ur «e„,J «^«if î""'.l'^^;«Je paromi/re. Ce théorème est dû à Éilenne Pages, prématurément «.
911T sciences.
aux sciences.
la courbure éeu lignes* \
. sens vulgaire du mot courbe, on est con-
. 1^ une circonférence a même courbure en
.S; 2* de deux circonférences, celle qui a le plus
i a la plus grande courbure. En conséquence, on
prend, pour mesure de la courbure d'une
'^ circonférence dont le rayon est R, ^*
D'ailleurs,
