ACB = R

ttO. Rayon de courbure. — Considérons, sur une ligne quelconque AB, un petit arc convexe MM', dont les tangentes fassent entre elles l'angle (ù : i^est ce qu'on appelle .]i la courbure moyenne de l'arc MM'. Si M' se rapproche de

A ^' i^ ^^"^ ^^i*^ ^"^ limite

que l'on peut représenter par ^ : R est le rayon de courbure, relatif au point M.

911. Identité du cercle de courbure et du cercle osculaleur. — Si l'on désigne par e l'angle de deux tangentes consécutives, £ est Yangle de contingence. On vient de voir que ^ = liin|^. Or, cette limite égale 3; donc ^ = 5*

Gela posé, il est visible que

dy\ f/xcPy — rfyrf'x donc

are tg

rfxcTy — dyd^x

I. L'équation de Tellipse» en coordonnées bipolaires, étant u-j-V'^^^ia; trouver l'expression du rayon de courbure, V étant la variable indépendante.

II. Calculer les rayons de courbure des lignes représentées par

x» + y' = o'('"), ^r^l-C), w» = o« cos 2« 0,

fi)

III. L*ellipse étant rapportée à la tangente et à la normale en un point M, calculer le rayon de courbure eu ce point.

IV. Les données étant les mêmes que dans la questioD précédente, déterminer la parabole osculatrice à Tellipse.

V. Théorème. — Le rayon de. courbure de la cbainetle, représentée par

est égal au segment de la normale, compris entre la courU et l'axe des abscisses,

(*) Seconde parabole cubique.

(") Ciwofcto.

("*) Hypocycloïde à quatre rebroussements.

C) Logarithmique.

(*) Lemniscatô de BemoulU,

{^) Spirale d:Archimède.

C") Spirale hyperbolique.

C") Spirale logarithmique.

VI. Théorème. — La distance d'vn point M d'une courbe, à la tangente au point W infiniment voisin de M , est

VII. Théorème. — Le lieu des foyers des paraboles qui ont, en un point donné, un contact du second ordre avec une courbe donnée, est un cercle,

VIII. Théorème. — Soient n, (ù les coordonnées d'un point M appartenant à une courbe C. Soient u', a)' les coordonnées du point M' de la podaire C de C, correspondant à M. Soient enfin p, p' les rayons de courbure de C, C, en M, M' : on a

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