CHAPITRE XV
DÉVELOPPÉES ET DÉVELOPPANTES.
9t9« La développée CD d'une courbe AB est le lieu des
centres C des cercles oscu-
lateurs à AB. Réciproquement, AB est la développante de CD.
918. Théobème I. — La normale MC, à la développante, est tangente à la développée.
Reprenons (i99) les équations qui déterminent le cenire C et le rayon p :
Si Ion différencie l'équation (2), en y regardant y, y', a, (3 comme des fonctions de x (*), on trouve, eu égard à réquation (3) :
— '^ = 0 dx dx
OU
aoL
et cette relation exprime que les tangentes en M et en C sont perpendiculaires Tune à lautre.
tI4l. Théorème II. — Uarc o- de développée^ compté à partir d'une origine fixe I, augmenté du rayon pdela développante, tangent à la seconde extrémité de l'arc <t, donne une somme constante.
La considération de la tangente CM à la développée conduit, immédiatement, aux égalités
da X — a dp y — p da p dff ^
d'où Ton conclut, par les propriétés des proportions :
rfa dp d<T {x — a) da -f- (y — p) dp
X — a y — jB p p({p
(*) Au D« cité, on a différencié Téqualion (t), puis Inéquation (2), en supposant a, i3,|B constants : il s*agissait d^une même drconférenoe. Maintenant, au contraire, la circonférence C varie avec le point M.
DÉVELOPPÉES ET DÉVELOPPANTES. 489
Mais, si l'on différencie complètement Téquation (1), en ayant égard à Féquation (2), mise sous la forme
(x — a)dx + (y — p)dy = 0, on trouve
— (x — a) da — (y — p) dp == pdp.
Par suite,
dff== — dp ;
et, en conséquence,
j H- p = const = lA.
9±ik» Le dernier théorème explique la dénomination de eleveloppée, donnée a la courbe IB : si Ion fixe, en I, Tune des extrémités d'un fil lA, puis que Ion enroule ce fil sur ia courbe, de manière qu'il soit constamment tendu, Textrémité libre décrira la développante AMB.
En effet, à cause de o' + p = IA, quand la partie du fil, appliquée sur la développée, sera IG, la partie tangentielle sera CM.
9111. Remarques. — I. B étant le point commun aux deux courbes, arc ICB = IA.
II. A une développée DCB correspondent une infinité de développantes, simultanément décrites par tous les points du fil, à mesure qu'ils se séparent de la développée. Toutes ces développantes sont des courbes parallèles et équidistantes (18) deux à deux.
III. Toutes les développantes d'un cercle sont des courbes égales.
Béveloppée de l'eUlpae*
jet 9. De l'équation a5j/*-f-6*x* = a*6^ on tire(»Ol) :
CiaCUL DIFFÉRENTIEL.
puis done
p=L* — vF"J* — -w'
De même ,
Par suite,
(aaf H- (6.9)' = c*.
Telle est Féquation de la développée de Tellipse. Cette courbe a la forme CDC'D\ c'est-à-dire qu'elle pré- B sente quatre points de tt-
brouêsemenU
