L*équation

représente une infinité de lignes AC, A'B'» A'^B", ...

Si deux de ces lignes se coupent, le point d'intersection M est représenté A \/^\ L * par l'équation (i), jointe à

*' /•(x,y,o-4-Aa)=0. (2)

àa diminuant jusqu*à zéro, le point M tend vers une position-limite m, déterminée par Téquation (l), combinée avec

Aa '

c'est-à-dire que les équations de m sont

Le lieu du point m est Venveloppe des courbes données: chacune de celles-ci est une enveloppée. Pour avoir Téquation de Tenveloppe, il faut, dans chaque cas particulier, éliminer a entre les équations (1), (3).

9ti. Théorème. — L'enveloppe, et chacune des envehfh pees, se touchent en leur point commun,

1® Le coefficient angulaire de la tangente àTenveloppéc AB, au point m, est

df

dx df

dy

^ Pour trouver le coefficient angulaire de la tangente à renveloppCy au même point m, on devrait d abord chercher réquation de cette courbe ; mais il est plus simple de différencier réquation (1), en y regardant a comme une fonction de X et de y, déterminée par Téquation (3). A ce point de vue, on a

df dfdy dfrda dady'^ dx dy dx da Ldx dy dxj

La seconde partie est nulle , en vertu de Tëquation (3); donc

dy dx

'di^'^df^

Ainsi, les deux tangentes coïncident; ce qui démontre le théorème.

)tt)9. I. Enveloppe des normales à la parabole. — La normale est représentée par le système des équations

y*=-2px. (6)

lit»- I équation (5) devient

Si l'on fait ^ = — a, Téqualion (6) donne x = ^ a^p, et

Y = aX — ap — 7 a p ;

ou , par un changement de notation ,

y = ax—ap\\-¥-^y L'équation (3) est donc

Eliminant a , on trouve

La courbe représentée par cette équation est la développée de la parabole (913) : on lui a donné le nom de seconde parabole cubique.

9tS. II. Enveloppe d'une droite AB, de longueur con-

stante, glissant entre les càtis d'un angle droit.

De

cos f sin f

on tire, en prenant la dérivée,

ou

xsm f

y cos e

cos* y

sin'f

cos" y

sm f»

Les relations (7) , (8) sont vérifiées par

x = l cos" f , y == / sin' y.

L'équation de Tenveloppe est donc

994. Remarque. — Si l'on achève le rectangle OABD, puis que Ton projette le sommet D sur la diagonale AB, rt le point P sur BD, AD, on a

BE = BP cos ç. = BD cos' ? = BA cos" y , AF = AP sin ? = AD sin' y = AB sin" f .

Ces valeurs, comparées aux valeurs (9), pouventqiie l'enveloppée et Venveloppe se touchent au point P.

1t9&. III. Enveloppe des ellipses décrites par tous les points de la droite AB.

(*) La courbe représentée par cette équation est appelée hypccycUnde d quatre rebroiissemenls (p. 486).

Une quelconque de ces ellipses est représentée par le système des équations

^-fï=i, (iO)

Pour n*avoir qu'un seul paramètre^ posons a=/cos^6, 6=/sin*6 : Téquation (10) devient

cos*fi sin*6 La dérivée de celle-ci est

cos* e sin* 0 Pour satisfaire à ces deux relations, il suffit de supposer

x = /cos'0, y = /sin'6; (M)

valeurs d où Ton conclut

Ainsi, l^enveloppe des ellipses décrites par les différents points de la droite MB, coïncide avec l'enveloppe de AB.

99e. Remarques. — I. Cette enveloppe commune est encore, comme on le verra plus loin y l'hypocycloïde engendrée par un point d'une circonférence roulant à l'intérieur d'une circonférence quadruple.

II. Si l'angle variable 6 égale cp, le point M, représenté par les formules (11), coïncide avec P (jtZâc); et, en conséquence, la droite XB est tangente, enP, d l'ellipse dont les demi-axes seraient

a = BP, 6 = AP.

En effet, les valeurs précédentes rendent identiques la

relation connue

a* = OA.a:.

••7. IV. Enveloppe de la perpendiculaire à Vexirémili

^ du diamètre d'une ellipse.

Soient x, y les coordonnées de ^ M. Si Ton pose

jTsacos^, y = 6siay,

on trouve que Téquation de MP est

a cos r y — 6 sin © = — •; — : — (x — a cos y), ^ b smf

ou

ox cos y -♦- 6y sin 5> = a' cos* ^ -♦- 5* sin* ç». (li)

La dérivée relative à 9 est

— ax sin f -¥• by cos f = — 2c* sin f cos f. (\ 5) En éliminant <p, Tortolini est parvenu (p. 3S2) à Téquation

Au lieu de la discuter, il vaut mieux résoudre les équations (12), (13), par rapport à x et y. On trouve ainsi :

o* -I- c* sin* 9 6* — c* cos* o .

x = cosç», y = r ^sm^;

et ces formules permettent de construire la courbe par points. 9)t8. Remarque. — L*ellipse donnée est la pocfaïre de

Tenveloppe. Conséquemment (t&), le point de contact P peut être déterminé par la construction suivante :

Après avoir mené la normaleMNàrellipse,onélèveLN perpendiculaire au milieu deOM, et Ton tire la droite ONP.

•••• y. Des rayons lumineux, parallèles^ rencontrent une circonférence donnée. Trouver l'enveloppe des rayons refléchis (*).

Si Ton prend pour origine le centre C, et que Ton compte les abscisses parallèlement au rayon incident IM, on trouve, comme équation du rayon réfléchi, MR :

y — as\n f sin âf X — a co$ f cos 2^ ou ycosâf — xsin2f = — asin^. (i)

La dérivée, relative à 9, est

y sin 2f -4- X cos 2f> =— cos y.

Cette équation représente une perpendiculaire à MR. De plus f elle est vérifiée par

x = -coSf, y=-sinç>.

Donc, si Ton prend le milieu L de CM, et que Ton projette le point L en P, sur MR, P est un point de Tenveloppe cherchée.

980. Du point C, comme centre, décrivons la circonférence BL; puis, sur ML, comme diamètre, la circonférence MPL. Les longueurs des arcs BL, LP sont, respectivement, |ç, ^ . 2(p ; donc

atc BL = arc LP.

(*) Celle enveloppe est l'une des courbes appelées caustiques par réflexion.

Par conséquent, si la circonférence MPL, d'abord amfondue avec BDA, roule sur la circonférence BC» le point P de la circonférence mobile, dont B est la position initiale, décrit l'enveloppe BPEF; ou , ce qui est équivalait :

Quand des rayons lumineux, parallèles, se réfléchissent sur une circonférence; la caustique par réflexion est wm épicyclotde, engendrée par un point d'une circonférence égale au qtiart de la première, roulant^ extérieurement, sur une circonférence concentrique à la circonférence donnée, et moitié de celle-ci.

I. D'un point C, pris sur une circonférence donnée 0, on abaisse CD perpendiculaire au diamètre fixe AOB; puis» du point C comme centre , avec CD pour rayon , on trace une circonférence CEF. On demande : 1"* les valeurs des coordonnées du point E où la circonférence variable touche son enveloppe; 2* Texpression du rayon du cercle osculatour de Tenveloppe; 3* les valeurs des coordonnées du centre de ce cercle; 4"* 1 équation de Tenveloppe; 5* Téquation de la développée de cette courbe.

II. Par un point A, pris arbitrairement sur une parabole donnée, on mène deux cordes AB, AC, normales en B, C, à la courbe. Quelle est Tenveloppe de la corde BC?

III. Une circonférence C roule sur une droite fixe. Quelle est Fenveloppe d'une tangente T?