AS 2^ AS
en sorte que Taxe CD est représenté par cette équation»
jointe à
Si Ion prend s pour variable indépendante, on a Ax dx i IdPx
AS
donc réquation (P) devient
dx i [(Px \ . i . , ...
2(X-x)[a^l(a' + a)As] = -2
AS
On peut donc prendre, comme seconde équation de CD :
Or, pour A^csrO, celle-ci ne diffère pas de Téquatîon (25).
990. Remarques. — I. L'équation (2S) est la dérivée de réquation (IK), quelle que soit la variable indépendante.
IL L*équation (25) représente un plan perpeniicuUm au plan normal et au plan osculafeur. En effet (976) :
Le plan (2S) est donc perpendiculaire à la normale principale.
)i8t. Centre et rayon du cercle osculateur. — Le centre est déterminé par les équations de Taxe :
jointes à Téquation du plan osculateur :
Au lieu de résoudre ces équations, par rapport à X, Y, Z, il vaut mieux en conclure le rayon p du cercle osculateur. On aurait
mais , comme ce rayon est dirigé suivant la normale principale, on a aussi
X — x = p/', Y — y = psf, Z — « = pA;
(!'est-à-dire
X — x = pRo', Y — y = pR6', Z — z = pRc'. (26) Substituant dans réquation (2S)» on trouve
pR(a'«-*-5'«^0 = i;
doù
Ainsi y pour les courbes à double courbure, comme pour les courbes planes, le cercle osculateur est égal au cercle de courbure.
ABgle eé rayes de tersIOB*
9SM. Soit une ligne brisée ABGD ...9 dont trois éléments consécutifs ne soient pas dans un même plan. Si on les prolonge dans le même sens 9 on forme une surface polyedrale, développable. Par ^ des rotations ou des torsions successives , effectuées autour de DE, autour de CD, etc., on en peut faire le développement, et trouver la transformée plane L' de la ligne donnée L. Les lignes L , L' ont leurs éléments respectivement égaux. De plus, les angles de contingence correspondants sont égaux (*). Quant aux angles formés par les plans B'CE', CCD', DDE', ... on leur donne le nom d'angles de torsion. Ces propriétés et ces dénominations subsistent si la ligne L est remplacée par une courbe à double courbure : pour une pareille ligne, Vangle de torsion est celui
{*) Traité élémentaire de Géométrie descriptive, seconde partie, p. S.
qui est formé par deux plans osculateurs consécutifs, ou par deux binarmales consécutives.
D après la formule générale (B'), on a, en désignant par »7 l'angle de torsion,
ii'^dP'^ dm* -♦. dn\ (28)
998. Rayon de torsion. — Si Ton divise ïi^ par ds% le quotient a la forme ^ : r est appelé rayon de torsion, par analogie avec le rayon de courbure. L'équation précédente peut donc être remplacée par celle-ci :
Formates de Frenel*
994* Reprenons les proportions
Pour les démontrer directement , de la manière la plus simple, il suffirait d'avoir égard aux remarques suivantes :
1** La normale principale, étant perpendiculaire à la tangente et à la binormale, les cosinus ft g^ h remplissent les conditions (99e, Rem., V) :
^ Les dérivées a\ b', c* satisfont à la relation évidente
2«a' = 0 et à réquation (99 i)
Il résulte, en effet, de ces deux systèmes d'équations
homogènes, que les premières inconnues sont proportionnelles aux secondes.
•9ft. De même, les dérivées l,tn,n satisfont aux équations
Celles-ci ne diffèrent, des équations (50), que par le changement de /', m', n' en f, g, h; donc
Ainsi déjà :
Les cosinus directifs de la normale principale sont pro^ portionnels, soit aux dérivées des cosinus directifs de la tangente, soit aux dérivées des cosinus directifs de la binormale,
9SB. D'après les formules (i6), (37) et (39), les rapports (33) et (31) sont égaux, respectivement, à db p, =br. Nous conviendrons d'adopter le signe + pour le premier rapport , et le signe — pour le second ; savoir :
l = l. = h. = ^r l' iw' n'
On conclut, de ces égalités :
ou, ce qui est équivalent,
àl dm dn >i
^^■^■^ ^^^2» ^^^^^^ Sb^^b •^"*^^ ^2m^m ^i^"i^ ^^ I
da db de e
ft5â CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Les formules (32), (33), (34), aussi simples qu*importantes , sont dues à M. Frenet , ancien Professeur à la Faculté des sciences , de Lyon (*).
■a7»b 4e tonitoB. — Salle*
999. La formule (29) donne le rayon de torsion par les dérivées des cosinus {, m, n. On peut, comme il suit, exprimer ce rayon, au moyen des cosinus a, 6, c et de leurs dérivées.
De Téquation (999)
on conclut
2aT 2«"'-
Mais (991, 999, 991) :
M-'M ca' — ae ab' — ba' ^' donc
ou
D*un autre côté :
^ pr
(*) Elles sont souvent, mais à tort, attribuées à M. Serrel.
Egalant ces deux valeurs d'une même somme, on trouve
ou
4 2 {ab' — 6o') c"
999. /{emargti^^. — I. Celte valeur de ^ est rationnelle, tandis que celle qui est donnée par Téquation (29) est irrationnelle.
II. Dans les calculs précédents, entrent, de la même manière, les quantités a, 6, c, a\ ... et les quantités {, m, n, l' ... Gonséquemment,
SorfAce polaire.
M^9. Un point quelconque P, pris sur Taxe CD du cercle osculateur, est également distant de tous les points appartenant a la circonférence de ce cercle. Le point P joue donc, par rapport à cette ligne, le rôle de centre ou de pôle : au moyen d'un fil dont Textrémité fixe serait en P, on peut décrire la circonférence. Pour cette raison , Taxe CD est souvent appelé droite polaire.
M9Ù» La surface polaire, relativement à une courbe AB, est le lieu des droites polaires de la courbe. Chacune des génératrices étant Tintersection de deux plans normaux consécutifs (99S), lu surface polaire est développable (999).
90i. Équation de la surface polaire. — Pour la trouver, il suffit, dans chaque cas particulier, d'éliminer la variable indépendante entre les équations (15), (25) de la droite polaire.
(*) Théorie analytique des lignes à double courbure^ p. 17.
AppllcAtlOB des fforMiales précédentea.
