Nous prendrons pour exemple Vhélice dont les
équations sont
x = cosz, 01
y = sin z. (2)
Il en résulte
dx = — sin zdz^ dy = cos zdz\ ds" = ^dz\ ds = V^dz.
908. Angles de la tangente avec les axes. — Ils soni déterminés (9119) par les formules
cos a =a = sm z, cos S = 6 = — :: cos z,
cos r = c >
994. Remarque. — D'après la valeur de cos 7, la tangente fait, avec les génératrices du cylindre, un angle de 45*. 99ft. Plan normal. — Il a pour équation (990)
— (X — cos z) sin z -h (Y — y) sin z -4- Z — z = 0,
ou
— X sin z + Y cos z + Z — z = 0. (4)
9IM. Angle de contingence. — On tire, des formules (3), en prenant z pour variable indépendante :
rfa = cos zrfz, d6 = = sin zdz, dc = 0; (5)
donc (990)
e = l^dz. (6)
DES LIGNES A DOUBLE COtRBURE. 555
)M9. Binormale. — Des formules (3) et (5), on déduit
hc' — c6' = — sinz, ca' — ad=^ cosz, aV — 6o'= -;
et, par conséquent (tVi) :
-sinz cosz ^ ^
puis
/ = — rsinz, »/i = ijcosz, n= (*). (8)
998. /{emargtce. — La comparaison des formules (3), (8) donne
Il résulte, de ces égalités, que V angle droit formé par la tangente et la binormale a, pour bissectrice y la génératrice du cylindre, passant au point M.
9mi. Normale principale. — A cause des valeurs de da, dij de y on a (•9G)
ces z sinz 0
Ces équations exigent que
h = Oy /'=dbcosz, g = ±sinz. (W)
Par conséquent, la normale principale coïncide avec la perpendiculaire abaissée, du point M, sur l'axe du cylindre. Cette direction est celle du rayon du cercle osculateur.
(*) Ces Yalears, qui ne sont pas affectées du signe db, se rapportent au segment indéfini de la binormale, situé au-desstu du plan xy. H en est de même pour les yaleurs de a, 6, c, relativement à la tangente (•••).
I. Axe du cercle oêculateur. — Il est déterminé (Mê) par les équations
— X sin z -»- Y cos z -4- Z — « = 0, (4)
X cos z -♦- Y sin « -4- i = 0; [M]
dont la seconde est la dérivée de la première.
S0t. Rayon du cercle osculateur. — Nous venons de trouver
d8=\/^dzy €= — :zdz;
1/2 donc
ds
Ainsi, le rayon du cercle osculateur est constant : il est égal au double du rayon du cylindre. Conséquemment, le lieu des centres des cercles oscuktteurs de l'hélice est me hélice égale à la première; elle est symétrique de celle-ci» relativement à Taxe du cylindre.
M09* Angle et rayon de torsion. — D après les relations (8) ,
puis
Donc, dans l'hélice, la torsion est constante, et égale à la courbure.
808. Angle de deux normales principales consécutv^s. — Si on le désigne par cd, on a
et, par les formules (11) :
= dz'
donc
Cette relation remarquable, entre les angles infiniment petits e, >7y &>, subsiste pour toute courbe à double courbure : elle constitue le théorème de Laticrel (*).
S04. Surface polaire. — Si Ton écrit ainsi les équations
Xsin js — Ycosz = Z — z, (15)
X cos 2 -4- Y sin z = — i, (16)
on en conclut, en faisant la somme des carrés,
X'h-Y«==(Z— z)«-+-1, ou
L'équation (16) devient donc
Xcos(Z=Fl/X*-f-Y«— l)-^Ysin(Zdbl/X«-»-Y'— i)-Hl = 0.
Celle-ci représente un héliçoïde développable (**). Varéte de rebroussement, de cette surface, est Thélice considérée plus haut (sot).
S05. Lieu des tangentes à l'hélice. — Ce lieu est, par définition , un héliçoïde développable. Il est symétrique du précédent, relativement à Taxe du cylindre.
L Lieu des binormales. — Les équations
X — gY--y Z — z l m n
(*) Théorie analytique des lignes à double courbure, p. 1 5.
(**) Traité élémentaire de Géométrie descriptive, seconde partie, p. 90.
deviennent y dans le cas actuel :
X — cosj2«=(Z — z)sïaz, Y — sin z = — (Z — z)cosr. On conclut, de celles-ci :
X sin z — Y cos z = Z — z, X cos z -♦- Y sin z = ^; puis y par Télimination de z,
Xcos(Z=fI/X*.^Y'— 0-*-Ysiu(Z=f:l/X«-*-Y*— l)-i=0;
équation d'un héliçoïde gauche, à cône directeur.
S07. Lieu des normaki principales. — Un calcul analogue au précédent, mais plus simple, conduit à Téqualion
- = tgZ.
Celle-ci représente un héliçoïde gauche, à plan directeur (*). Ainsi , Vhélice est l'intersection d'un cylindre de réwlution et de l'héliçoïde gauche, lieu des normales principales.
I. Un point parcourt une circonférence, pendant que celle-ci tourne autour de Tun de ses diamètres, supposé fixe. La vitesse angulaire du point est égale à la vitesse de rotation de la circonférence. Trouver : 1^ les équations de la trajectoire; 2° Féquation du plan osculateur de cette ligne; 3** l'expression du rayon de courbure, etc.
II. Un cylindre de révolution, dont le rayon est R, est coupé par une sphère qui a son centre sur la surface do
(*) Des équations (i), (3), on conclut
- = tg2, «•-♦-y« = l.
cylindre, et dont le rayon est 2R. Appliquer, à la courbe d'intersection, les formules relatives à la tangente, au plan normal, au plan osculateur, etc.
III. Appliquer les mêmes formules : 1® à la courbe représentée par
x = z cos — > y = z sm — ;
2* à Vhélice conique^ dont les équations sont
a' H- y* = mV, u = ae".
3® à Yhélice caténotdique, représentée par x = e', y = 6-*, z = tVl.
IV. Théorème. — 5i, sur une sphère dont le rayon est pris pour unité, on trace une courbe quelconque, on a, entre les coordonnées x, y, z de tout point de cette ligne, la relation
2 [{yz'-zy')x"J= [2x-] [jx'"] - [jx"]'- [S^Vj'O-
V. Théorème. — La distance de deux tangentes infiniment voisines est donnée par la formule
ds^ <? = --—• (0. Bonnet.)
VI. Théorème. — La distance comprise entre un point d'une courbe et le plan osculateur au point infiniment voisin est double de la distance d des tangentes. (0. Bonnet.)
VU. Théorème. — Soient x» g> ^ fc« courbures des projections d'une courbe L, «tir trois plans rectangulaires.
(*) Les accents désignent les dérivées par rapport à une yariable indépendante quelconque.
Soient encore a, ^^y les angles formés, avec les axes, par la tangente à L. On a
i sin'a sin'p sin*y
et, siy=j:
