GÉNÉRÂUTÉS SUR LES SURFACES

définition : Les tangentes en un point M d'une surface S, à toutes les courbes menées, de ce point, sur la surface, sont situées dans un même plan, appelé plan tangent (*). Ainsi, les plans (3), (4) sont tangents, respectivement , aux surfaces S,Si,

509. Remarque. — La tangente, en un point de la courbe suivant laquelle se coupefU deux surfaces, est l'intersection des deux plans tangents en ce point.

510. Soient p, q les dérivées partielles de i, tirées de réquaUon (1). On a (56)

dz \dxl dz \dy

d'où

d^ dF dF dF

dx dz dy dz

La substitution de ces valeurs, dans Téquation (Z), transforme celle-ci en

Cette forme particulière de l'équation du plan tangent est souvent employée.

Stt. Remarque. — Si la surface S est algébrique, on peut, au moyen du Théorème des fonctions homogènes (tOO), simplifier Téquation du plan tangent, comme on simplifie réquation de la tangente à une courbe plane (190).

819. Exemple. — Si la surface S est Tellipsoîde représenté par

(*) Voir, pour celle queslion, le Traité élémentaire de Géométrie deS' criptive.

542 ChLCVt DIFFÉRENTIEL.

réquation (3) devient

o' 6 tr cr r r

ou, plus simplement,

SIS. Remarque. — On conclut , dé cette équation , que

la distance d, de rorîgine au plan tangent, est donnée par

la formule

a* 6* c* ou y SOUS une forme plus symétrique :

St4. La droite menée par le point de contact, perpendiculairement au plan tangent, c*est-à-dire la normak à la surface, a pour équations :

dF dF dF ^'

dx dy dz

Si réquation du plan tangent est mise sous la forme (5), les équations de la normale deviennent

X — ar-^p{Z — 2) = 0, Y — y-4-7(Z — z) = 0. (7) (*) Nous avons fait usage de celle-ci (!•«).