GÉNÉRALITÉS SUR LES SURFACES. S

St6. Angles de la normale avec les axes. — En les désignant par ^, jXy V, on a

COS X «COS a COS V i

dF dF dF y' ^ ^

dx dy dz

L'emploi des dérivées partielles p, 9 conduit à des formules plus commodes que celles-ci, quoique moins symétriques. En effet; d'après les équations (7) :

ces > = » ces /x =

i/Tn^yT^ l/i -♦- p« -+- g»

cos V =

kS . ^s

Cènes e( eyllndres drconserlto.

ste. Côn^ circonscriU — Reprenons les équations

dF rfF dF

Si le plan tangent doit passer par un point (a, 6, c), non situé sur la surface S^ on a Yéquation de condition :

dF, . dF , dF

à laquelle doivent satisfaire les coordonnées des points de contact de tous les plans tangents qui répondent à la question : le lieu de ces points est une courbe de contact^ repré-

sentée par les équations (1), (11). Cette ligne peut être prise comme directrice d*un cône C ayant pour sommet le point (a, 6, c). Pour trouver Téquation de C» il suffit d'éliminer X, y, z entre les équations (1), (11) et

celles-ci représentent une génératrice quelconque.

StV. Remarque. — Le cône C est circonscrit à S; c'est-àdire que ces deux surfaces ont même plan tangent, au point (xy y, z). En effet, le plan tangent en ce point, à S, contient la génératrice de C et la tangente à la directrice.

818. Cylindre circonscrit. — Au lieu de faire passer le plan tangent par un point donné, on peut le supposer parallèle à une droite donnée , dont les équations seraient

X y z abc

La condition (11) est alors remplacée par

dF , dF dF dx dy dz

L'ensemble des équations (1), (13) représente la courbe de contact d'un cylindre circonscrit à la surface S. Pour trouver l'équation de ce cylindre, on prend les équations d'une génératrice :

puis on élimine x, y, z entre les équations (1), (12), (13).