NOTIONS PRÉLIMINAIRES

Héflnltlona et nolaeion**

fl. Si une fonction F (x) a pour clifTérentielle f{x) dx, on dit que F (x) est Vintégrale de f(x) dx. On représente rintégrale par le signeyj que Ton énonce intégrale de ou somme de; ainsi, F(x)=y"/'(x) dx. Cette égalité a la même signification que d.F(x)=5/'(x)rfx; en sorte que les signes y* et d se détruisent mutuellement.

Constante arbitraire.

M. Si, par un procédé quelconque, on a trouvé une fonction (p(x) dont la différentielle soit f(x)dxy et que Ton représente par F (x) ou J*f{pc) dx la fonction la plus générale qui jouisse de la même propriété, on a

F{x)=/f{x)dx=f{x)-^C, (1)

C étant une constante arbitraire. En effet, on a vu, dans

r Algèbre, que deux fonctions qui ont même dérivée (ou même différentielle) ne peuvent différer que par une constante. Quelquefois 9 on donne à la fonction f{x) le nom d'intégrate particulière : alors F (x) est Vintégrale générale.

S. Dans I égalité (1), la constante G est ordinairement déterminée par la condition que Tintégrale s'annule pour une valeur a de x. Autrement dit, on suppose 0=<p(a)+C; d'où F (x) = ç (x) — <p (o). Pour indiquer, au moyen du signe /^ que Ton considère cette intégrale de f(x) dx, on écrit

y/(x)dx = ç(x) -.?(«). (2)

Si Ton attribue à x une nouvelle valeur particulière 6, régalité (2) devient

ff{x) rfx = ^ (6) - ? (a) :

le premier membre, qui est indépendant de x, est ce qu on appelle une intégrale définie; a et 6 en sont les limites.

Par opposition ,y/'(.r) dx est souvent désignée sous le nom

d'intégrale indéfinie.

A. Interprétation géométrique. — Considérons la courbe

AB dont réquation est i/ = /'(x).

L'aire déterminée par ceue courbe, Taxe des abscisses, une première ordonnée AG et une ordonnée quelconque MP, est une fonction de ■^ OP=x : soit \F (x) cette fonction.

Prenons PP|=Ax; supposons, pour fixer les idées, que l'ordonnée ys=f(x) soit croissante pour des valeurs suffi-