H 2Z -4- DZ' -4- 4z' -*- 5z* H

^ = 1 — 5z -H Cz' — iOz' -♦- •..,

(i - zf

de.

56. Remarques. — I. Dans la formule (3), le confident de t" est égal au nombre des combinaisons complètes de p lettres, prises n à n (99).

II. Les formules (4), (5), démontrées dans les éléments, donnent la limite de la somme des termes d'une progression par quotient, décroissante.

III. La série (7), convergente si z est une fraction proprement dite, a pour coefficients les nombres naturels. La comparaison avec la formule (5) prouve que

[I -4- z -4- z* -4- z' H ]* = i -4- 2Z -4- 3z' -4- 4z* -4- OZ* H (10)

En effet, si Ton multiplie par elle-même la progression (5), en observant les règles de la multiplication des polynômes, on trouve la série (7).

ly. Si, à l'exemple des anciens géomètres, on admettait les séries non convergentes, on arriverait à des résultats

paradoxaux ou absurdes, parmi lesquels nous indiquerons seulement ceux-ei :

- = 1— 3-fr-6 — 40-4- 15 ,

que Ton trouve en faisant z=i dans les relations (4),

Ml. Quand Texposant m est fractionnaire, il est commode, pour appliquer la formule (&s), de calculer les différences

puis les rapports

Soient, par exemple,

i i i p. m s= — > tn = > tu s=s -? tu = J

les calculs se disposent comme il suit :

!• m = -> m — 4 = — -> m — 2 = > iw — 3 = — -» ••'

ni — 4 i m — 2 3 m — 3 5

(*) iNotts avons déjà cité les deax premiers (•).

donc

30 ^=3-, m — i-s , ni — 2 = > m — 3 = — ->•••>

4« ni=— -> m— 1 =

^ . 49 4.2 V 1.2.3 \ql '^ '

(S^.f^^i^lt^^.^ (45)

^ ' \q 1.2 W/ 4.2.3 \qI ^ '

BxIraetloB des raelnes namérl^uefl.

&9« Les formules (14) et (13) se prêtent facilement au calcul des racines des nombres. Si, par exemple, on veut calculer, avec une grande approximation , la racine carrée d*un nombre entier N, on commencera par chercher la partie

entière a de celte racine; de manière queN=a2-^-a?, x étant moindre que a^. On aura donc

puis, par la formule (11)» dans laquelle 2 = ^:

Si la fraction - est fort petite, la série sera très-convergente. De plus y les termes étant alternativement positifs et négatifs, les résultats sont, alternativement aussi , trop petits et trop grands (•!); et Ton connaît, à chaque fois, une limite de Terreur commise (*).

»8. Application. — Soit N = 1 03 ; d'où résulte a = 1 0, x=3, puis

Réduisant en décimales, on trouve

n L'inégalité l^<a^^

deYîent, si Ton y remplace a; par N — a' : oa enfla

yîf<

iKÏÏ

Ainsi, la moyenne géométrique, entre a «< -« est plus petite que la moyenne arithmétique entre ces nombres; théorème connu. En outre, la différence eulre les deux moyennes est inférieure à ^ (Si).

ei ALGÈBRE.

donc, à moins de 0,000 001,

69. Lorsque N est un petit nombre, tel que 2, 3, 5, la série (1 6) devient divergente ou peu convergente. Dans ce cas, on multiplie N par un carré Ifl ; et, au lieu de calculer directement V/N, on développe k l/N.

Par exemple,

l/3=iv/37î:9 = ^V/U7.

Prenant a = 12, onax=3; donc

ir 1 1 1 1

ou

K Au lieu d opérer comme nous venons de l'indiquer, on peut réduire la série (16) à ses deux ou trois premiers termes,et appliquer plusieurs fois la formule ainsi obtenue. Si Ton conserve les trois premiers termes, on aura donc

puis

et les quantités a'y a", a'", ... approcheront indéûniment

de t^ (*).

•t. Application. — Soient, comme ci-dessus : N== 103, a = 10, x=3. Les formules (17), (18) donnent

= 10,148 891 565; etc.

•9. Remarque. — La théorie des fractions continues (**), combinée avec Tun des procédés ci-dessus (69), conduit à un résultat remarquable.

Supposons que Téquation

soit vérifiée par des valeurs entières de x et de y ; savoir : X = a, y^^b. Comme le développement de 1/6* -t- 1 , en fraction continue, est

(*) Ce procédé appartient à la méthode des approximations successives, dont il sera question plas loin. Quand on rapplique en réduisant la sérieà ses deux premiers termes, on retombe sur la règle qui consiste à diviser le reste par le double de la partie déjà trouvée.

(**) Voir, par exemple, nos Mélanges mathématiques.

Sî, de plus, N = c' H- 1 , on aura cette relation entre deux fractions périodiques :

Soit, par exemple, c = l : on trouve

etc.

Llnlle tfe

es. Si, dans f«-^;^)"*, on fait croître indélîniment l'ex- |)Osant m, la quantité 1 H- ^ diminue et tend vers Tunité. On ne peut donc, a priori, savoir si sa puissance w**"* augmente ou diminue. Nous allons prouver que cette puissance, c'est-à-dire (*+^J"*, a pour limite le nombre incommensurable e (98).

La démonstration de cet important théorème est fondée sur les propositions suivantes :

•4. Lemmb I. — La Hmite d'une somme est égale à la somme des limites des parties qui In composent (*).

Lemme II. — 0^9 ^9 yy ••• ^ étant des fractions proprement dites, le produit

évidemment inférieur à ij surpasse l — (a-F-|3-i-yH-...-i-i). Si le nombre des facteurs se réduit à deux, on a

(i — a) (1 — P) = i — a — p -4- ap;

et, comme a(3 est une quantité positive :

Pour passer au cas de trois facteurs , multiplions les deux membres par la quantité positive 1 — y; nous aurons

(I — a)(1^p)(4-r)>i — « — p-r + (« + p)r; et, à plus forte raison,

A son tour, cette inégalité donnerait

(1— a)(t— p)(i— r)(4— ^)>i— «— p— r— <^+(a-^p-^r)<y; puis, h plus forte raison,

etc.

(*) Ce lemme, ou plutôt cette définition, suppose que le nombre des parties est constant.

Lemme m. — Le produit

\ ml \ ml

dans lequel p est quelconque, mais constant, converge vers 1, quand m croit indéfiniment (*). D'après le Lemme II, le produit

est compris entre 1 et

Cette dernière fraclion tend indéfiniment vers zéro lorsque m augmente; donc lim P = l.

G5. En supposant d'abord m entier positif, nous avons, par la formule du binôme (4S) :

\Y . w* ^ mim — \)\

ml