p wi

ou

<1 ^l]fi-ll

/, 1 \'" , 1 m \ ml \ ml

\ ml \ 1.2

ml \ ml \ ml

(*) Par exemple , le produit

composé de dix mille facteurs, tend vers I si le dénominateur m, supposé plus grand que 10 000, croit sans cesse.

Prenons (9S)

il résulte, de la démonstration précédente, que les termes du premier développcmenf, inférieurs à ceux qui y correspondent dans le second, ont pour limites respectives ceux-ci.

Représentons par S^+i la somme des p -h 1 premiers termes de e, et par R le reste. De même, soit S|,^.| la somme des p H- 1 premiers termes de 1 1 -i- ^ ]"*, R' élant le reste. Nous aurons

1+-) <e, S;^, <S^, R'<R; niJ

puis, par la démonstration ci-dessus,

limSJ^, ==S^i.

Ces diverses relations donnent

e — lim (l -^ -) = R — lim R'. (3)

Dans celte nouvelle égalité, dont le second membre est indépendant de m, faisons croître p. Le reste R diminuera indéfiniment, et il en sera de même, à plus forte raison, pour la quantité lim R', qui ne peut surpasser R. D'ailleurs, le premier membre est une constante (*); donc cette constante est nulle; et, finalement

lim (l -4-—] =e. (4)

{*) En effel , ce premier membre est indépendant de m.

L Remarque. — D après les égalités (3), (4), on a, quel que soit p :

Hm

\ ml \ ml

•9. Dans ce qui précède, nous avons supposé m entier positif. Si ce nombre est fractionnaire positif, il sera coBipris entre deux entiers consécutifs n, n + 1 ; ei Ton aura

(-;rèTr<(-ir<(-r-

ou

Mais , n étant un nombre entier.

lim 1

lim

ii+i

lim i

donc

lim 11 H — I =e.

APPLIGÂTIONg DU BINOME. 69

Enflo, 6Î w = — m\ m' étant po«î^t'/) entier ou fractionnah'e :

Conscquemment

limllH — 1 =Iini[iH ; 1 .limllH ; )

\ ml \ m — il \ , m — il

Diaprés les deux premiers cas,

lim donc cnGn

I iY

lira M H 1 = c.

\ ml

Sommation des pnUnancefl semblable* des termes d*aue prosre«i9i«B par dlfférenee*