Exemples d'intégrale indéfinie el d'intégrale défim

— La sinusoïde a pour équation

y = sÎD X.

OMP ^= ysin xdx = — ^ ces x h- G.

L'aire doit s'annuler avee x; conséquemment C = 1 :

sin xdx = i — cos a? = 2 sîn'— x = 2mp

(en supposant Op^=^OP). Si, dans cette intégrale tn/iéfinicy on suppose x = OA = n, on a

OMAPO =y*sin xrfx = 2.

InlécrAllon de af{x)dx.

0. a étant un facteur constant^ c'est-à-dire indépendani de X, on a

J*af(x) dx = aj*f{x) dx h- C.

En effet, les différentielles des deux membres soïiiaf{x)dT. On peut donc, à volonté, faire sortir un facteur constant de dessous le signe d'intégration^ ou le faire entrer sous cf signe*

IniéBratloii d'ane Mainie.

••De même que

d (ti -f- v — 11?) = dtt -I- dv — dw: W

f{du -4- dv — dw) =J^du -^Jdv —J*dw. (5)

renlielle ycte, comme une qaatilîté infiniment petite (dans le sens ruigairr du mot). Dès lors, Pintégrale était une véritable somnM. De là, l'emploi du signe /.

NOTIONS RRÉUMINAIRES. 555

Effectivement, si Ton différencie les deux membres, on retombe sur Téquation (4).

Ainsi, l'intégrale de la somme ou de la différence de plusieurs différentielles est égale à la somme ou à la différence des intégrales de ces différentielles (*).

Inlé^railoB Immédiate ée quelques dlfférendelles*

lO. En renversant les règles de la différenciation, on trouve les formules suivantes, déjà démontrées dans VAlgebre :

x-(ix = — hC, f^dx ^é'-^Cy

y(Ax" -^ Bx' H h Na;') dx =

A B N x"+* H 0:^+* H 1 — - — a'"*"' -H consty

clx >•

= lx-4-C, /sinxdx = — cosxh-C,

/•dx ^ /^ dx y — r— =tgx-*-C, / = arcsmx>»-C.

— dx /^ dx

= arccosx-h

/'* ax " - = arctgx-4-C i-^x*

etc.

fi. Remarque. — La formule

x-dx = -f- C

est en défaut lorsque ni = — 1. Cela tient à ce que-r est

(*) La ooDstaote arbitraire est toujours sous-enlendue.

ia différentielle de la;. On peut cependant déduire, deccue même formule , la valeur dey^- En effet,

jTdx = H C;

car jjj^ est une constante. Si Ton suppose w = — 1, fraction '^^^"^* prend la forme J. D'après la règle ordinaire, la vraie valeur est acT^lx (*), pourvu que fii=— 1. Donc enfin

/dx — =lx-4-C'.