La même décomposition, appliquée à

, Mx -f- N

donne

■ : /^ (x — a) dx - n dx

J [(x - «)• H- p']' ^ y [(ar - a)» -+- P'J'

M \ /* dx

Pour réduire cette nouvelle intégrale, posons x — a=Pz : il vient

/^ dx \' n dz i

J [{x^oif ^ p^^'^J {\ -^ zy^'^' '•

Comme on ne peut écrire, immédiatement, la valeur de Zp, on cherche à exprimer cette quantité au moyen de la fonction plus simple Z^^. Cest à quoi Ton parvient par Fun ou Tautre des procédés suivants :

1^ On a, identiquement,

z dz z*dz

dz z* -♦- i — i

dx , dz

donc

{i-^z^^ ^'^ '(i-^zY

puis

z. = é— ;:Zp-i-*-^r-^77-T;^- W

dz Pdz (1 -4- z* — z')

* Jix-^zy J

(*) Cet artifice^ qui consiste à différencier une foncUon pour établir une relation entre deux intégrales, doit être remarqué : il est fréquemment employé.

(**) Voici encore un artifice aussi utile que simple : il se réduit à retrancher et ajouter nne même quantité.

L'intégration par parties donne

J{\'^z'Y~^ 2 p — 1 ^■*"2p — 1^"*' donc

7 7 ^ : — Z-i ; etc.

9t. Au moyen de la relation (A), on a Z, lorsque Zp, est connu. Or,

/^ dz - - = arctg«-*-C;

donc

= -arctgz -4- i-^TTà m"*" ^'

et ainsi de suite. L'intégrale auxiliaire Z^ étant calculée, on a la dernière des formules cherchées :

/* (M J -»- JN) tfX

99. Attire méthode. — \\x lieu d'appliquer, plusieurs fois de suite, la formule (A), on peut former la valeur complète de Zp. II est visible que

p^ z Zp==o:arctgg-»-2o, > (B)

a, ai, 02 9 ••• ^n-i ^^^^^ d^s coefficients inconnus.

Prenant les dérivées des deux membres , on a

Or (»•, i') :

donc 9 par le changement de p en î 4- 1 :

Au moyen de cette valeur, Tégalité (5) devient

Les deux membres doivent être identiques; donc

Oi =0 =