I. Soit

X =fydx =J ^^ ^ ^j j^, ^ ^j,-

La fraction ^1 A Mxj+-^ M,x -4- N<

On trouve d'abord A = ^. Par suite ,

= (Mx -f- N) (x* -*- i) ■*- M,x H- Nj;

puis y en identifiant :

Donc

x==i /l*L i /"(^— ^)<fcg ^ r{x—\)dx

= 7-l(x-+-i) — -I(x'h- 1) -♦--arctffXH ;

\ r dx

La formule (A) donne

dx \ i X

= - arc tu X -♦- — ••

Ainsi

yrfx = -l (x+ 1) — -1 (x»-^ i) -h -arc tgx -*- -^^;-j-j

\ il

-*- -- arc tg X -4- - — H C

i,(x-^i)» i Ix -h4 ^

=- 1 — ; — -r '^r:^TcXax-\ ; h C.

M. II. Supposons que y = ^^^^^l^^\^^ soit l'équation de la courbe ABC; et comptons l'aire à partir de Oy. Alors, par la dernière formule, 0 = | h- C; donc

/•* i (xH-1)' i 1x(l— x)

J -^ Sx'-hi 2 ® 4x'-t-1

Si X augmente indéflniment, le 5 second membre tend vers —^ . Ainsi

l'aire ACOx est finies bien que l'arc p X AMC soit infini. En même temps,

dx TT — 1

(xH-1)(x'-f-1)'

MB. III. Valeur d'une autre intégrale définie. — La relation (A) exprime que

/'* dz 2p — Z p dz \ z .

[ \ -4- zy ^ î2p — 2y (i H- z«)'-* "*■ 2p — 2 (i -^ z^y-' '

Dans le second membre, la quantité .^^^^ s^annule pour z = 0 et pour z = oo ; donc

/* dg 2p — 5 /*• d«

(iH-zy"'2p — 2c/ (ÏTTp'

et, par conséquent,

/■ dz 2p — 3 2p — 5 2p — 7 4 ir

p étant entier positif,

•9f. Cette intégrale définie peut en donner d'autres (*). Si, par exemple, on suppose z=igB; d'où

de /^« dz r^ , , ,

dz = — r-» / T. 7r= I cos''-'ecffi;

cos'e J (l-*-2y J

on a

/cos''-'ed« = — — 2p —

ou , en remplaçant p par p + 1 :

/•î ^ ^ l.3.5...(2p — i)jr

/ cos'*'a.dfi= ^-^ i— D