CHAPITRE IV

Irrailonnellefl aioB^Hies*

tS* Il est toujours facile, par un changement de variable , de rendre rationnelle une difiérentielle dans laquelle les irrationnelles entrent sous forme monôme. Soit, par exemple :

dy=— ; dx.

Si Ton fait x = fi^^ on a

rfy«24— — n 7

«"dit.

La transformation se ferait aussi aisément si x était remplacé par ax + 6.

X ém «ec^nd ée^ré*

K Si la différentielle donnée renferne l/x^-t-px+ç, on pose

\/x* -♦- px -*- 9= X -4- z;

ce qui donne, par l'élévation au carré,

px -I- q = 2zx -i-z'; puis

dx = — 2 -dz, xH-jjr = ^ ^•

• Soit maintenant

dx dz

dy =

l/a* -h px -^ q P ^

L'intégrale du second membre est — llz — f ) -*-C. Donc

dx

Ji/?

px -^ q

ou 9 en faisant attention que le logarithme d'une constante est une constante :

dx e

\/x' -h px -^ q ^ P

Mettant pour z sa valeur, on a donc dx

i/x'^px-^q L ^?J ^ l/iTTjSTT^

ou enfin, en changeant la constante,

= ll olxH t-Vx* -i-px-t-q) \.

\/x*-*-px-i-q L ^ 2 'J

*ai. En second lieu, soit

dy = dx [/x* -^ px •\' q

x' -4- px -+- ç

px

rfxO

De là résulte

dx

px.

dx{").

px

dx

dx

Vx^ -^px -^ q ^ l/ï- -♦- px -H y

= X l/x* -t- px -h qf "" /*^^ l^x' -H px 4- y

£/ l/x' -+- px -^ ^ ^ ^ ^^ l/x' -♦- px 4- g = X l/'x' -+- px H- 9 — y -♦- ^l/x' -♦- px -4- çr

-+-(?- ^P'J 1 (^ + 1 -^ l/x* + px H- pj.

Ainsi

px -f- qr

-Ihf)^

px-\-i\

St. Remar<fM. — La dernière formule donne , comme cas particulier,

yitV/a;* — o»==-xV/x* — o' — -o'j(x-*-l/x' — o«) + C,

(*) Qaand ane différenlielle contient un radical , il y a ordinairemeni avantage à le faire passer en dénominatear.

(**) Celte décomposition tend à rendre intégrable la première partie de dy.

et, en supposant y = l^x* — a* :

La quadrature de Thyperbole équilatère dépend donc des logarithmes népériens. Pour cette raison, on les appelait, autrefois , logarithmes hyperboliques.

SS. Pour rendre rationnel V — x*-»-/}x h-ç, on met d^abord le trinôme sous la forme

Cette transformation donne

/* dx . n dz , z ^

= / — =arcsm- -v- C;

ou

— ^z==:=z:zi=zz = arc sm - -^ C. (d)

a4. De même ,

y dx V — i» -»- px -*- 9 = y*rf« Wp* — «'

(*) Le trinôme doit être ane différence de carrés, sans quoi le radical serait toujours imaginaire.

dz

puis

fàxV — ap* -H px -H y

p' -f- g arc sin

*-iP