III. Si l'on veut rendre rationnelle une expression con
tenant l^a* — x^, on peut employer une des transformations suivantes :
ly^T i # x ^ — ^ sin'© , .--
Ko" — x'=(a — x)z, = — T-f Var — x'=o — to.
a -H a cos' f
On tire : de la première ,
z' — i y âaz zdz
X = a > ko' — x' = 9 dx = 4o ;
de la deuxième y
X = o . ces âf , Ko' — x'=o sin 2f , dx == — 2o sin 2fdy ; de la troisième ,
x = 2a- ;> I/o' — x'=o- -? dx = ^a rrff.
La deuxième donne, par exemple ,
= — 2/dy-f-C:
(ix ^ ^
= — arccos — h C;
fi
résultat connu.
k Applications^ — I. Soit
/* dx
La première transformation donne
zdz
OU , dz zdz dz
dy =
z — 1 «'-*-i z'-*-i Conséquemment,
y = l(z — I ) — - 1 (z' -I- 1 ) — arc Ig jr -h C ,
ou
c(z — i) y = \ — arctgz.
ou enfin, b étant une nouvelle constante arbitraire, dx
IL Soit
=1 [6(1/1 H-x— l/T=i)]-f- arccos 1 0
la quantité a étant supérieure à 1 (**). La deuxième transformation donne
dx d? rf?
(a— x) V 1 —X* (tt-cos 2?) (a— 1 ) cosV-*-(a-Hi ) sin'? '
ou, si Ton pose
tg? = r:
dx di
Cj On a
—"'•«Vrri^ â-^*^*"»;/!!:^ 2+arccosx;
et le terme — - peut êlre supposé compris dans b consfaole, laquelle est 1 . 6.
r*) Exemple traité par M. Hermite {Cour^ (TAnalffse de VÉcoh technique, p. 31 1).
D ailleurs, aux limites ( — 1), (-+- 1), correspondent, respectivement :
2y = 7r, 2y = 0; puis
t = oo, t = 0.
Ainsi
L*intégrale indéfinie est , comme on peut le vérifier,
1/ donc
(a — i)-t-(o-H<)««"'v/ôfzrrL sj'
et, finalement,
\/if^n^
DliréreBllellefl blndaies.
S9. Ce sont celles qui ont la forme x' (a -f- 6x*)' rfx.
1® On peut supposer p et m entiers : si ces exposants étaient fractionnaires, on opérerait comme pour des irrationnelles monômes;
2® On peut supposer in> 0 : dans le cas contraire, on change x en i;
{*) On verra, no peu plus loin, que
y-* dx i / . /B\
A+B^v vjû \ V a;
3® L'exposant q doi^ être supposé fractionnaire ; car sll était entier, la diSérentielle serait rationnelle.
S9. Cas d'intégrabilité. — Cela posé, pour essayer de rendre intégrable la différentielle donnée, faisons
a -+- 6«^ = z; d^où
puis
dy = x' (a -♦- bx^ydx = — I — - — I dz . «*.
Si
= entier^
la dernière quantité peut être rendue rationnelle; donc la différentielle binôme est intégrable.
Il y a un second cas d'intégrabilité : on peut écrire
dy = a;*^"^ (6 -*- a«~*)« dx;
donc, en appliquant la première condition, on trouve
p -4- cm -♦- 1
— m ou
= entier^
q = entier (*).
u Exemple : dy = x* (1 -i- a:*/ dx. La première condition n'est pas vérifiée; mais ^^ h- { = enU'cr; donc dj est intégrable. En effet, si Ton prend Jj-f-l^^^S on a
C) M. Tcbébychew a démontré que ces deux cas sont les seuls où la différentielle binôme soit intégrable au moyen des signes algétfriqws tt logarithmiqws (Jodrral de Liodyille, t. XVIII).
puis
Suite. — aédnetton de rinté^nUe.
4#. Que la différentielle binôme soii ou ne soit pas intégrable, on peut se proposer de la réduire. Cette réduction comporte quatre problèmes particuliers : Diminiier ou augmenter, soit l'exposant q^ soit l'exposant p.
4t. Premier cas. — Réduction de l'exposant q. En intégrant par parties , et faisant porter l'intégration sur le facteur ofdxy on a :
y=fx'{a-^bx-Ydx
x^* amb y,
= (a -f- bx^y — fx^^ (a h- bx'^y-' x"-*dx
x^ amb •.
= (a H- bx'^Y ^ fxf^la h- 6x"')*"* dx.
Cette transformation n'atteint pas le but, parce que, m étant posin'fy on a p-i-w>p. Mais 6af***si=5af (a+ôx* — à); donc
y=^^(aH-5a;'")«- ^[Jj;f{a-hbx")'dx-aJx'{a-\-bx''y- *rfx],
ou
(p-+- i)y = x'^(a -h 6x")' — qmy-\-aqmJxf{a'\'bx'^Y'U1x.
Ainsi
yx' (a -f- bx^Y dx = x*^* (a -*- ôx"*)' p -*- i -H wig
aqfm
p -4- i -H wig ./x'(«-^6x").-dx.
p -*- i -♦- mq*
578 CALCUL INTÉGUAL.
En employant plusieurs fois la même formule, on retraiiobéra, de l*exposant 9, toutes les unités qui y sont contenues.
ât. Remarques. — I. La formule (5) est illusoire si
mais alors la différentielle proposée est intégrable, à cause de
= 1- ûf = 0 = entier.
En effet,
-Eti -thîiix
dy = x^[a -4- 6x") "* dx = (6 -4- cmp~*) * —
Par conséquent, si Ton pose
