II. La réduction est encore impossible si p

c'est-à-dire quand

dx dy == (a -4- bx^Y — •

Mais la transformation ci-dessus (Sâ) donne

dy = — 7 zdz\

tn{z — a)

et cette différentielle est intégrable, même lorsque q e^( fractionnaire (96).

48. Deuxième cas. — Réduction de l'exposant p. Pour reffeciuer, on doit faire porter l'intégration sur (a-H6x")'rfj- Or,

ar** (o -*- 6x*)* = niôoc*" * (o -*- 6x")* r— ;

mb

donc

fjgjP »+i P Ut t i

Décomposant (a -h 6x")«^ en (a -ï-6x'")*(a-»-6x"), on a

puis

et enfin

X' (a H- ôx")* dx = 7 x»^"^* (a -4- 6x~)«+«

ââ. Au moyen de cette formule (6), on pourra réduire Fexposant p k p — tm, t étant le quotient entier de p par m. Si p — im = m — 1, la dernière différentielle, x'*~*(a+6af')'rfx, est immédiatement intégrable; mais alors

= t + i = entier.

âl(. Troisième cas. — Si 9 est négatif, le second membre de la formule (5) est plus compliqué que. le premier; car q — 1 surpasse 9, en valeur absolue. Pour transformer convenablement cette formule, changeons d'abord q en — q\ nous aurons

(p -+- ^ — mq)j3f (x -f- 6x™)"» dx

= x'^* (o -*- ôx")"^ — aqmfx^ (o -4- ôx"*)""*^ dx\ d'où

X' (a -f- ôx")-»-* dx = x»^* (a -♦- ôx"):»

afin

p-4- —mq ç^^ ^ ^^ ^^ aqm •^

et, par le changement de g en g — 1 :

J am{q — i)

p-i-1— tii(g — I) ^ ^ , . ... , f /^ — vi ; r^, / ^ 6x")-^ dx.

am{q — i) ^ ^ '

4ttk Qtiatrième cas. — De même , en remplaçant p par — Pj dans l'égalité (6) , on a

h {mq — p -♦- i) /*x~'' (o -4- 6x*)' dx =3 x"*'"*** (o -4- 6x")*+^ -•- a (p ■+- m — 4) /x~^" (a h- 6x"*)» dx;

et, par le changement de p en p — m :

yx"' (a -h ôx*")* dx = ; -T ^'"'^ (<» •*- bacry*^

6(mûf — p -4- m -4-4) /. .^^, , v . ( ■*- a(p--«) ^^Z' <« + te-j'ix. )