Soient n nombres en progression par différence

Cl* f/y C* •••} **} **

Désignant par d la raison, on aura

puis y en faisant la somme des seconds membres, et ajant égard à quelques réductions,

(1) -b î- Sjc?" -4- n/î^*.

Dans cette relation générale, Sp représente la somme des puissances p des termes de la progression. De même, S^.i est la somme de leurs puissances p — 1 ; etc. Il est évident que la formule donne Sp quand on connaît Sp.i, Sp„ ... S|.

•9. Considérons le cas particulier où les termes de la progression sont les nombres naturels 1, 2, 3, ..., n. Alors régalité (1) se réduit à

Si Ion suppose successivement p = l, 2, 3, 4, on trouve

Si = — 2 — ' ('*)

n(nH- 1)(2n-bi) S, = ^ » (4)

Ss =

n (n H- l)(6n' -»- i5n* -»- 6n' ^ Çn- — n -♦■ 1)

etc.

90. Remarques. — I. La formule (3), qui donne la somme des n premiers nombres entiers, est connue par les éléments d*algèbre.

II. Dans la formule (i)y qui donne la somme des carrés des nombres naturels, le troisième facteur est égal à la somme des deux premiers.

III. La formule (5) nous apprend que la somme dès cubes des n premiet^s nombres entiers est égale au carré de la somme de ces nombres.

{*) Les calculs se compliquent si rapidement, quMI est déjà difficile de (létermiDer, par cette voie, la valeur de Sg. Au moyen d'autres considérations, on trouve, soit la formule

daos laquelle B,,, Cp, ..., L^ sont des coefficients qui suivent une loi fort simple (Nouvelles Annales de Mathématiques, juin 1856); soit

Ap, Bp, Cp, ... étant des nombres entiers. Par exemple,

S, ^ Cff^i, 8 ■+- Cii+1, 8,

S, = C«+8, 4 -4- 4C»4.4, 4 -*- Cn+i, 4 ,

S4 = C»+4. B 4- 1 1C,+8,B -H i iC»+S, S -+- Cii+I, S ,

TS ALGÈBBE.