COS* — X

on remplace la différentielle par

dx i V""" 5

cos*-x

8in-XC08-X tg-x

d*où résulte

/►dx . i -: — =l.tg-x-f-C. (I)

sin X 2

ft». IV. Soit à intégrer ^ . ,^.,^^,^. Si on voulait rendn le dénominateur calculable par logarithmes, on ferait

a=l/a'H-6*cosy, 6 = »/a' + 6*sin ?,

(*) Ces formules ne différent pas de celles que nous avons donnéfsà propos des différentielles binômes («•, III). (**) Elle revient à faire tg^xa= t. (Voir la note suivante.)

et Ton Mnii

a sin rr + 6 Gos x = l/ô" -+- 6* siii (x -+- f).

Cette iraDsfonnation est applicable à la question actuelle; elle donne

a sin X + 6 ces

i r dx

ou, diaprés la formule (1),

/ a sm X

dx 4 1

— l = "-=zzi=:l.tg-(x-f- f)-hC.

eo. V. Soit

^* ^ r àx n dx

^J 2 — sin«x~y 4 — (1 — co8 2x)^!/3

Posons

De là résulte

cos 2x = •- (*).

sin2x = -» ax

y= / 1 r = -— larctg -t- C;

Cl, si rintégrale est prise entre 0 et |y

(*) Cette formule, qui équivaut à tgx = v, doit être remarquée : en général, si (2y = F(sinâ;, cosa;)da;, F désignant une fonction rationnelle, il suffit de faire tg | x = ^ pour rendre dy algébrique et rationnelle.

592 CALCUL IHTËCRAL.

et. Remarque. — On arrive plus vite à ce résultat en

dx dx

écrivant

, dx cos*x 4 1/3 006* x

dy =

2co8*ic-i-sin"« 2-+-tg'x 1/2

• VI. Plus généralement y soit

/• dx

J a* sin' X -♦- 6* cos* x

La dernière transformation donne

adx

i / (cos'x \ (a \

et y en particulier.

c/ o" sin' X -4- 6' cos* x

U Remarque. — Si Ton suppose la formule (2) devient , après quelques réductions,

,/ c' — 2c ces

2ccos2f-i-l 2(c'— I) Soient (p=^ 9, c = ^ : on trouve

r"" de n ^

J i — 2gfcos6-h9«'^1— ç«' ^^'

résultat qu'il est bon de connaître.

INTÉGRATION DE QUELQUES FONCTIONS aRGULÂIRES. 395

U VII. Comme dernier exemple, prenons Tintégrale

^ ^ COSfX

que l'on rencontre dans un problème de Géométrie sphérique (*).

En essayant diverses substitutions , on arrive à celle-ci :

cosx On en déduit :

cosa , zdz

sinx = — 9 dx = — cosa

» / sin*a Z COS a

^ c^s^ V/z« -♦- sin' a

et, par conséquent ,

V = — COS a / •

^ ,/(j3'-^i)(«* + sin»a)

La fraction

(z*H-1)(z«-»-sin*a) est décomposable en

i I i sin'a \

>s«^ U«-Hl "" z« -f- sin« a/ '

cos' donc

• dz

. ^ r dz

y = — arctgz-t- sm'a/-- -~-

/dx y/

sin' a z

1 r— = — arc tg z H- sin a arc Xa h C.

COS* X sin a

fj Journal de Liouville, t. VI , p. 428.

Pour avoir un résultat simple, supposons que les limites de la première intégrale soient x=0,x=j — a. A ces valeurs de x correspondent, respectivement, z = + ac, 2=:0; donc

Y/4^ = |(l-sin.).