CHAPITRE VI

FONCTIONS EXPONENTIELLES OU LOGARITHMIQUES.

•e. Les cas où rimégration est possible sont fort rares. En voici quelques-uns :

1» y = n\xYx^dx,

Si Ton pose a==fi^, on a

Quand n est entier positif, on peut intégrer (l«). Du resle, rintégration par parties donne

y = ^{\xf ^/(IxrVrfx;

ou, pour plus de régularité dans la notation,

D'ailleurs Vo = "^^; donc, comme nous venons de le dire, on pourra trouver y^ si n est entier positif.

FONCTIONS EXPONENTIELLES OU LOGARITHMIQUES. 897

C*-Hi

dx.

Si Ton met la fraction sous la forme *, * ^, on a, immédiatement, ••-♦-«"î

3» y = Al(1— «•)dx=-«M(i — «*) + 2/ -■

La fraction firgi ^s^ décomposable en

2 \i — a:' i + xV Conséquemment ,

/ofdx \ . ! i -♦- x'

puis

«==-a:MM — a:») — x»-t--l ;+C,

ou

En particulier,

r x\(i — !ii*)dx = \{^) — \{*).

€9. Soit à déterminer

A„ = /i^c* sin xrfx , B„ =^fs^e ces x(ix ,

n étant entier positif.

n A cause de (1 — rc») î (1 — rc*) == 0 pour a?« = 1 (Alg., ••).

L'intégration par parties donne

A„ = — x^c* cos X -+- /cos X {xV -+- nx"~V) dx

= — x"c* cos X H- B„ -+■ nB^i, B„ = x^e' sin x -—/sin x (x^c* -h »ix""*c") dx

= x"e' sin x — A„ — nA,,,.

On tire, de ces équations :

A„ = - a;"c* (sin x — cos x) — - A,,* — B^) , (i)

B„ = - x^c» (sin X -4- cos x) — ^ (A»., -♦- B,,). (2)

D'ailleurs :

Ao =J^^ sin xrfx = e" sin X — Ro, Bo = /«* cos xdx = c" cos X -H Ao;

et, par conséquent,

Ao=~c"(sinx — cosx), Bo = - c*(sinxH-cosx). (3) j» z

On peut donc, de proche en proche, déterminer A|,B{,

US. Si les intégrales A„, B„ sont prises entre x= — od et x=0, les relations (1), (2) se réduisent à

De celles-ci , on conclut aisément A„=— nA^4 — A,„ B„= — nB,, — B^^. (4)

Ainsi, en partant de

Ao = — -I ^=-*-2' ^'"""^i' Bi = 0,

FONCTIONS EXPONENTIELLES OU LOGARITHMIQUES. 899

on peut, au moyen des formules (4), calculer séparément les intégrales A„ et les intégrales B„ (*).

tB»9treic9;

i- = -il-e »J.

(1 ^^r xy 2

e~* sin xdx et / e~' cos xdx, n étant un nombre entier.